蓝桥杯-最大子阵 动态规划

题目大意：给定一个矩阵，求出它的子矩阵中元素之和的最大值

题目分析：这道题明显是用 动态规划来做。我们可以先分析一维数组的情况，num[] = {1,-3,5,2,-6,9}，考虑类似这样的数组，要求出它的最长连续子序列和的最大值。我们从左往右扫描，用dp[i]表示以第i个元素为末尾元素的连续子序列和的最大值。也就是第i个元素一定要包括在内。那么，我们可以得到dp[i] = max(dp[i-1]+num[i],num[i]).  也就是说，如果dp[i-1]大于0，那么dp[i]就等于dp[i-1]再加上num[i]；若dp[i-1]<=0, 那么dp[i] = num[i]. 因为前面的值是负值，加上dp[i-1]只会使得dp[i]变小，而我要求的是包含num[i]的最大值。

回到该问题上，因为这里由一维数组变成了矩阵，所以我们尽量把矩阵的最大子阵问题转化为一维的情况。假设矩阵是2*m的大小，如下图所示：

A11	A12	A13	A14	A15	A16	A17	A18	A19
A21	A22	A23	A24	A25	A26	A27	A28	A29

我们要求该矩阵的最大子阵，我们可以怎么求？ 我们会先处理第一行元素的最大连续子序列和、再处理第二行最大连续子序列和，这时最大子阵是1*m的形式，然后还要考虑2*m的形式，比如可能A14，A24，A15,  A25可以成为最大子阵。 这种情况我们可以采用压缩法，即把每列元素累加起来，变成求 A11+A21, A12+A22, A13+A23, A14+A24, A15+A25,....A19+A29 这个序列的最大连续子序列的和。

如果我们处理3*m的情况，如图所示：

A11	A12	...
A21	A22	...
A31	A32	...

我们可以依次处理第一行、第一二行压缩之后、第一二三行压缩之后、第二行、第二三行压缩后、第三行的一维数组的最大连续子序列和，它们的最大值就是矩阵的最大子阵之和。

当矩阵变成n*m时，两层循环来控制要压缩的第i行和第j行之间的元素，然后用O(n)的时间来求出一维数组的最大连续子序列和，总时间复杂度是O(n^3)

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int num[510][510];
    int dp[510];
    int temp[510];
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            cin>>num[i][j];
        }
    }
    int result = num[0][0];    //先将其设为第一个数
    for(int i=0;i<n;i++){
        memset(temp,0,sizeof(temp));
        for(int j=i;j<n;j++){
            for(int k=0;k<m;k++){
                temp[k] += num[j][k];
            }
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            //对temp一维数组进行求最大子序列和
            dp[0] = temp[0];
            for(int u=1;u<m;u++){
                dp[u] = max(dp[u-1]+temp[u],temp[u]);
                if(dp[u]>result)
                    result = dp[u];
            }
        }
    }
    cout<<result<<endl;
    return 0;
}