差分法算区间加法

例题

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差分法介绍:

假设我们现在要给[2,5]这个区间加一。原来的序列是:

0 0 0 0 0 0 0 0

这时候我们在2上面打 +1 标记, 6 上面打 -1 标记。那么现在的序列是:

0 +1 0 0 0 -1 0

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
 
int a[1002][1002]={0},flag[1002][1002]={0};
int main()
{
	int n,m,x1,y1,x2,y2;
	cin>>n>>m;
	for(int k=0;k<m;k++)
	{
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
		for(int i=x1;i<=x2;i++)
		{
			flag[i][y1]+=1;
			flag[i][y2+1]-=1;
		}
	}
	int sum;
	for(int i=1;i<=n+1;i++)
	{
		sum=0;
		for(int j=1;j<=n+1;j++)
		{
			sum+=flag[i][j];
			a[i][j]+=sum;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	
}

<think>好的,我现在需要帮助用户查找关于C++差分数组求和的实现或算法。用户明确提到了“差分求和”,所以我要先理解差分数组的概念及其在求和中的应用。 首先,差分数组通常用于高效处理数组区间更新操作,比如将某个区间内的所有元素加上一个常数。差分数组的每个元素b[i]代表原数组a[i]与a[i-1]的差值。这样,当需要对原数组的某个区间[l, r]进行增减操作时,只需要在差分数组的b[l]处加上该值,并在b[r+1]处减去该值,最后通过前缀和恢复原数组即可。这种方法可以将区间更新的时间复杂度从O(n)降到O(1),多次更新后再统一计前缀和,非常高效。 接下来,我需要查看用户提供的引用内容,寻找相关的代码示例。引用[2]中提到了差分算法C++实现,这正是用户需要的。代码中定义了一个insert函数来处理区间更新,初始化差分数组,并在多次操作后计前缀和得到最终结果。这个示例应该能很好地展示差分数组的应用。 另外,用户可能对差分的原理和实现步骤不太清楚,需要详细解释。例如,如何初始化差分数组,如何处理多次区间更新,以及如何通过前缀和得到最终结果。这些都是需要分步骤说明的重点。 可能还需要比较差分法与普通方法的效率差异,强调其优势。比如,当有m次区间更新操作时,普通方法的时间复杂度是O(mn),而差分法则是O(m + n),在处理大规模数据时优势明显。 用户可能还希望看到完整的代码示例,包括输入输出的处理,确保代码可以直接运行测试。引用[2]中的代码已经比较完整,但可能需要进一步注释和解释,帮助用户理解每一步的作用。 最后,生成相关问题时,需要考虑用户可能进一步询问的内容,比如差分数组的应用场景、优化方法或与其他算法(如前缀和)的区别。这些问题有助于用户深入理解差分数组的使用。</think>以下为C++差分数组求和的核心实现解析及代码示例: ### 一、差分数组原理 差分数组$b[i]$是原数组$a[i]$的相邻元素差: $$b[i] = a[i] - a[i-1] \quad (i \geq 1)$$ 通过构造差分数组,可在$O(1)$时间复杂度内完成区间加减操作,最后通过前缀和还原数组[^2] ### 二、实现步骤 1. **初始化差分数组**:将原数组转为差分形式 2. **区间修改**:在差分数组特定位置进行加减操作 3. **前缀和还原**:将差分数组转换回修改后的原数组 ### 三、完整代码示例 ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int a[N], b[N]; // a为原数组,b为差分数组 // 差分操作函数:在区间[l,r]增加c void insert(int l, int r, int c) { b[l] += c; b[r + 1] -= c; } int main() { int n, m; cin >> n >> m; // 初始化原数组 for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 构建初始差分数组 for(int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]); // 执行m次区间操作 while(m--) { int l, r, c; cin >> l >> r >> c; insert(l, r, c); } // 计前缀和得到最终结果 for(int i = 1; i <= n; i++) { b[i] += b[i-1]; cout << b[i] << " "; } return 0; } ``` ### 四、算法特点 1. **时间复杂度**:预处理$O(n)$,m次操作$O(m)$,最终计$O(n)$ 2. **空间复杂度**:$O(n)$ 3. **典型应用**:大规模数据批量区间修改,如数组范围加法、航班预订统计等问题[^2]
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