假设检验 Hypothesis Testing

什么是假设检验

假设检验是统计学中常用的一种推断方法，用于对一个或多个总体参数进行推断和验证。它基于样本数据，通过对比观察到的样本统计量与预期的理论值之间的差异，来判断某个假设是否成立。它的基本原理是通过收集样本数据来对某个假设进行检验，从而推断总体参数的真实情况。

假设检验的基本原理和步骤

在假设检验中，通常会提出一个原假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。原假设是我们要进行检验的假设，通常是对研究对象的某种特征或关系的陈述，而备择假设则是对原假设的否定或对立假设。

假设检验的步骤通常包括以下几个步骤：

• 1. 提出假设：明确原假设和备择假设，通常将原假设设为无效或不显著的假设，备择假设则相反。
• 2. 选择显著性水平：确定显著性水平（significance level），通常用α表示，代表着犯第一类错误的概率，一般选择0.05或0.01。
• 3. 收集样本数据：从总体中随机抽取样本，并收集相关的数据。
• 4. 计算检验统计量：根据样本数据计算出一个检验统计量，该统计量可以用来衡量样本数据与原假设之间的差异。
• 5. 确定拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，确定一个拒绝域，如果检验统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设。
• 6. 做出决策：根据样本数据的结果，比较检验统计量与拒绝域的关系，如果检验统计量在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
• 7. 得出结论：根据决策结果，得出关于原假设的结论，并进行适当的解释和推断。

假设检验在统计学中具有广泛的应用，可以用于比较两个或多个总体的均值、方差、相关性等，也可以用于检验回归模型的显著性等。它提供了一种科学的方法来评估和验证研究假设，并对研究结果进行推断和解释。

假设检验中的两种错误

在假设检验中，有两种常见的错误，分别是类型I错误和类型II错误。

1. 类型I错误（False Positive）：

类型I错误是指在原假设为真的情况下，错误地拒绝了原假设。换句话说，类型I错误是将一个本来不显著的结果误认为显著。通常将类型I错误的概率称为显著性水平（significance level），通常用α来表示。常见的显著性水平包括0.05和0.01。

举个例子，假设我们进行了一个单样本 t 检验，原假设是样本均值等于0，备择假设是样本均值不等于0。如果在显著性水平为0.05的情况下，我们计算得到的p值为0.03，小于显著性水平，那么我们就会拒绝原假设，认为样本均值不等于0。然而，实际上原假设是真的，这个拒绝原假设的决策是错误的，属于类型I错误。

2. 类型II错误（False Negative）：

类型II错误是指在备择假设为真的情况下，错误地接受了原假设。换句话说，类型II错误是将一个本来显著的结果误认为不显著。通常将类型II错误的概率称为β，常见的统计学中用1-β来表示检验的功效（power）。

继续上面的例子，如果在备择假设为真的情况下，我们计算得到的p值为0.1，大于显著性水平，那么我们就会接受原假设，认为样本均值等于0。然而，实际上备择假设是真的，这个接受原假设的决策是错误的，属于类型II错误。

在假设检验中，我们通常希望控制类型I错误的概率，即显著性水平，同时尽量减少类型II错误的概率。这两种错误是相互关联的，当我们降低显著性水平时，可能会增加类型II错误的概率，反之亦然。因此，在实际应用中需要根据具体情况和需求来权衡这两种错误的概率。

常见的假设检验

常用的几种假设检验方法包括：

• 1. 单样本 t 检验：用于比较一个样本的均值是否与一个已知的总体均值相等。适用于连续型数据，假设总体服从正态分布。它的检验统计量是 t 统计量，可以通过样本均值、总体均值、样本标准差和样本大小来计算。
• 2. 独立样本 t 检验：用于比较两个独立样本的均值是否有显著差异。适用于连续型数据，假设总体服从正态分布。它的检验统计量也是 t 统计量，可以通过两个样本的均值、标准差和样本大小来计算。
• 3. 配对样本 t 检验：用于比较同一组样本在不同条件下的均值是否有显著差异。适用于连续型数据，假设总体服从正态分布。它的检验统计量同样是 t 统计量，可以通过样本均值的差异、标准差和样本大小来计算。
• 4. 卡方检验：用于比较观察值与期望值之间的差异是否显著。适用于分类数据，假设观察值和期望值之间的差异是由随机性引起的。它的检验统计量是卡方统计量，可以通过观察频数和期望频数来计算。
• 5. 方差分析（ANOVA）：用于比较三个或更多组之间的均值是否有显著差异。适用于连续型数据，假设总体服从正态分布。它的检验统计量是 F 统计量，可以通过组间均方差和组内均方差来计算。
• 6. 相关分析：用于确定两个变量之间是否存在线性相关关系。适用于连续型数据，假设两个变量之间的相关系数为零。它的检验统计量是相关系数，可以通过样本数据的协方差和标准差来计算。

这些假设检验方法在统计学中被广泛应用，可以根据具体问题和数据类型选择合适的方法进行假设检验。在进行假设检验时，需要注意选择适当的假设检验方法、设置显著性水平、收集样本数据、计算检验统计量、确定拒绝域、做出决策和得出结论等步骤。

假设检验中的统计量

以下是假设检验中统计量的计算公式和具体案例：

假设检验计算公式：

• 1. 单样本 t 检验：用于检验一个样本的均值是否与已知的总体均值有显著差异。计算公式为：t = (样本均值 - 总体均值) / (样本标准差 / √样本大小)。
• 2. 独立样本 t 检验：用于比较两个独立样本的均值是否有显著差异。计算公式为：t = (样本均值1 - 样本均值2) / √((样本方差1 / 样本大小1) + (样本方差2 / 样本大小2))。
• 3. 配对样本 t 检验：用于比较两个相关样本的均值是否有显著差异。计算公式为：t = (配对样本的均值差 - 零假设的均值差) / (配对样本的标准差差 / √配对样本大小)。
• 4. 卡方检验：用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联。计算公式为：χ² = Σ((观察频数 - 期望频数)² / 期望频数)。
• 5. 方差分析：用于比较多个样本的均值是否有显著差异。计算公式为：F = (组间平方和 / (组间自由度)) / (组内平方和 / (组内自由度))。
• 6. 相关分析：用于评估两个变量之间的线性关系强度。计算公式为：r = Σ((x - x̄)(y - ȳ)) / √(Σ(x - x̄)²) √(Σ(y - ȳ)²)。

具体案例：

• 1. 单样本 t 检验案例：假设有一份学生体重数据，样本均值为60kg，总体均值为65kg，样本标准差为5kg，样本大小为100。则可以进行单样本 t 检验来判断学生体重是否与总体有显著差异。
• 2. 独立样本 t 检验案例：假设有两组学生的体重数据，分别为组1：均值为60kg，标准差为5kg，大小为50；组2：均值为65kg，标准差为5kg，大小为50。则可以进行独立样本 t 检验来判断两组学生的体重是否有显著差异。
• 3. 配对样本 t 检验案例：假设有一组学生的体重数据，在开始锻炼前和锻炼后进行了测量，样本均值差为-5kg，标准差差为2kg，大小为100。则可以进行配对样本 t 检验来判断锻炼是否对学生的体重产生了显著影响。
• 4. 卡方检验案例：假设有一份调查数据，记录了100个人的性别和喜好，如男性喜好A的人数为30，女性喜好A的人数为20，男性喜好B的人数为10，女性喜好B的人数为40。则可以进行卡方检验来判断性别和喜好之间是否存在关联。
• 5. 方差分析案例：假设有三组学生的考试成绩数据，分别为组1：均值为70分，标准差为5分，大小为50；组2：均值为75分，标准差为5分，大小为50；组3：均值为80分，标