欧几里德算法求最大公约数简介

本文深入解析欧几里得算法的数学原理,通过逐步推导,展示如何利用共同因子的概念,简化寻找两个整数最大公约数的过程。通过实例演示算法实现,提供直观的理解路径。

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看过好几次GCD的算法,每次都记不清他的原理,到头来只能是死记硬背,所以利用这次学习离散数学来说明一下欧几里德算法的原理。


假设求a,b的最大公约数,那我们假设a=bq+r,这里a,b,q,r都是整数,如果我们能够证明a和b的共同因子等于b和r的共同因子,那最大公约数也是他们的共同因子,那么gcd(a,b)=gcd(b,r)。


我们看,r=a-bq,那么a和b的共同因子x提出来,就有r=x*(a`-b`r),所以x也是r的因子,那么a,b的共同因子也就等于b,r的共同因子。同样的,a=bq+r,如果x`是b,r的共同因子,提出来也可以得到x`也是a的因子,那么b,r的共同因子也等于a,b的共同因子。所以gcd(a,b)=gcd(b,r)。


设r0=a,r1=b,这样一直计算下去就有

r0 = r1q1 + r2 0 ≤ r2 < r1,
r1 = r2q2 + r3 0 ≤ r3 < r2,
·
·
·
rn−2 = rn−1qn−1 + rn 0 ≤ rn < rn−1,
rn−1 = rnqn.

计算直到rn-1 = rnqn, 余数为0,那么最大的公约数就是rn了。


这样,就可以很轻松的写出我们的程序了:

int gcd(int a, int b){
	int r;
	while(b!=0){
		r=a%b;
		a=b;
		b=r;
	}
	return a;
}


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