欧几里德算法求最大公约数简介

看过好几次GCD的算法，每次都记不清他的原理，到头来只能是死记硬背，所以利用这次学习离散数学来说明一下欧几里德算法的原理。

假设求a，b的最大公约数，那我们假设a=bq+r，这里a,b,q,r都是整数，如果我们能够证明a和b的共同因子等于b和r的共同因子，那最大公约数也是他们的共同因子，那么gcd(a,b)=gcd(b,r)。

我们看，r=a-bq，那么a和b的共同因子x提出来，就有r=x*(a`-b`r)，所以x也是r的因子，那么a,b的共同因子也就等于b,r的共同因子。同样的，a=bq+r，如果x`是b,r的共同因子，提出来也可以得到x`也是a的因子，那么b,r的共同因子也等于a,b的共同因子。所以gcd(a,b)=gcd(b,r)。

设r0=a,r1=b，这样一直计算下去就有

r0 = r1q1 + r2 0 ≤ r2 < r1,
r1 = r2q2 + r3 0 ≤ r3 < r2,
·
·
·
rn−2 = rn−1qn−1 + rn 0 ≤ rn < rn−1,
rn−1 = rnqn.

计算直到rn-1 = rnqn, 余数为0，那么最大的公约数就是rn了。

这样，就可以很轻松的写出我们的程序了：

int gcd(int a, int b){
	int r;
	while(b!=0){
		r=a%b;
		a=b;
		b=r;
	}
	return a;
}