线性代数(19)——行列式(下)

行列式计算

在之前的基础上对行列式的性质进一步拓展，如果一个行列式的一行加（减）另一行的$k$倍，行列式的值不变。具体的证明过程如下，

整个过程与Gauss-Jordan消元法的过程是一致的。行列式的值与其经过Gauss-Jordan消元法后得到的行最简形式的行列式的结果是相等的。有一点不同的是，在行列式消元的时候不能进行归一化，因为归一化后，行列式的值就改变了。

Gauss-Jordan消元法的过程最理想的情况是将矩阵转换为一个对角矩阵，行列式的求取过程也是如此。

对角矩阵行列式计算

上、下三角矩阵行列式计算

如果Gauss-Jordan消元的结果存在零行，则行列式的值为0。

故总结行列式计算步骤，

1. 对方阵进行Gauss消元(即没有Gauss-Jordan消元法后向过程)
2. 不进行归一化处理
3. 如果消元结果中存在零行，则行列式的值为0
4. 如果不存在零行，则行列式的值为主对角线全部元素乘积

这也是大多数线性代数计算库计算行列式值的算法过程，这个过程本身的运算效率是较高的。

初等矩阵与行列式

$$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det$$