概率论与数理统计:第1章 随机事件及其概率

一,随机试验与随机事件

1.随机试验的特点

(1)可重复性

(2)多结果性

(3)不确定性

2.样本空间:

(1)样本空间:随机试验的所可能的结果的集合,Ω

(2)样本点:每一种可能的结果,

3.事件

(1)基本事件:不能再细分的事件,只有单个样本点

(2)随机事件:样本空间的一个子集\displaystyle

(3)不可能事件:不含任何样本点,\varnothing

(4)必然事件:含全部的样本点,Ω

4.事件的运算

(1)包含:A\subsetB,A发生,则B必然发生

(2)并(和):A\cupB,A,B至少有一个发生,记为A+B

(3)交(积):A\capB,A,B同时发生,记为AB

(4)差:A-B,A发生而B不发生

(5)互不相容(互斥):AB=\varnothing,多个事件

(6)对立:A+B=Ω,AB=\varnothingA的对立事件B记作\bar{A},两个事件

(7)完备事件组A1,A2,A3,......,An,满足Ai∩Aj=\varnothing,且\sumAi=Ω

5.\displaystyle事件的运算律

(1)交换律:A∩B=B∩A,A∪B=B∪A

(2)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(3)分配律:(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(4)对偶率:

二,频率与概率

1.概率的性质

(1)非负性

(2)规范性

(3)可列可加性

(4)概率为0的事件也可能发生

(5)有限可加性

2.概率公式

(1)加法公式

A,B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B)

反之,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(2)减法公式

P(\bar{A})=1-P(A)

 (3)减法公式

A\supsetB,则P(A-B)=P(A)-P(B),且P(A)\geqP(B)

推论:对任意事件A,B有P(A-B)=P(A)-P(AB)

(4)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

三,古典概型和几何概型

1.古典概型

(1)有限个样本点

(2)等可能性

2.几何概型

四,条件概率与乘法公式

1.条件概率

(1)条件概率的样本空间发生了改变

(2)A,B两事件,P(A)>0,在A已经发生的条件下,B发生的概率称为B对A的条件概率,记作P(B|A)

2.条件概率的公理

(1)非负性

(2)规范性

(3)可列可加性

3.乘法公式

(1)P(B|A)=P(AB)/P(A),P(A)>0

(2)P(A|B=P(AB)/P(B),P(B)>0

(3)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

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