倍增LCA（bzoj 3732: Network）

最新推荐文章于 2018-10-10 19:45:40 发布

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本文解析了一道关于图论的竞赛题目，通过构建最小生成树并利用倍增法快速求解两点间路径上的最大边权值，介绍了算法实现的具体过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

3732: Network

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 1836 Solved: 868
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Description

给你N个点的无向图 (1 <= N <= 15,000)，记为：1…N。

图中有M条边 (1 <= M <= 30,000) ，第j条边的长度为： d_j ( 1 < = d_j < = 1,000,000,000).

现在有 K个询问 (1 < = K < = 20,000)。

每个询问的格式是：A B，表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Input

第一行： N, M, K。
第2..M+1行: 三个正整数：X, Y, and D (1 <= X <=N; 1 <= Y <= N). 表示X与Y之间有一条长度为D的边。
第M+2..M+K+1行: 每行两个整数A B,表示询问从A点走到B点的所有路径中，最长的边最小值是多少？

Output

对每个询问，输出最长的边最小值是多少。

Sample Input

6 6 8

1 2 5

2 3 4

3 4 3

1 4 8

2 5 7

4 6 2

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

5 1

6 2

6 1

Sample Output

题目要两点之间最长的那条路尽可能的短

那么这条最短的“最长路”一定在最小生成树上，这个用反证法很好证明

这样就简单多了，因为是树，所以两点直接的路径唯一，每次只要查询路径中的最长边就好了

每次爆搜是不可能的，树链剖分又太麻烦（这都是废话）

倍增吧……

那。。怎么倍增？

先考虑暴力的方法：

先搜一遍预处理所有节点的父亲fa[x]和深度dep[x]

那么对于两点x和y，每次让更深的那个点向父亲爬就好了，最后两点一定会在最近公共祖先相遇，可这样超时

而倍增其实很简单，每个节点除了存下它的父亲以外，还存下它父亲的父亲、它父亲的父亲的父亲的父亲……

也就是说fa[x][j]存下x点的第2^j辈祖宗，例如fa[152][3]就是从节点152往上的第8个节点

递推式：fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];

那。。怎么爬捏？

步骤①：先让更深的那个节点往上爬，直到它们深度相同（有可能此时两个节点刚好相遇）

②：两个同时爬就好，如果它们的第2^j辈祖宗一样，则说明它们的最近公共祖先在第2^j之前；

如果它们的第2^j辈祖宗不一样，则让它们同时向上爬2^j步！

是不是很简单？

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef struct Road
{
	int u, v;
	int len;
	bool operator < (const Road &b) const
	{
		if(len<b.len)
			return 1;
		return 0;
	}
}Road;
Road s[30005], temp;
vector<Road> G[15005];
int ufs[15005], fa[15100][20], bet[15100][20], deep[15100];
int Find(int x)
{
	if(ufs[x]==0)
		return x;
	return ufs[x] = Find(ufs[x]);
}
void Sech(int x)
{
	int i;
	deep[x] = deep[fa[x][0]]+1;				//预处理每个节点的深度和它的父亲
	for(i=0;i<G[x].size();i++)
	{
		temp = G[x][i];
		if(temp.v==fa[x][0])
			continue;
		fa[temp.v][0] = x;
		bet[temp.v][0] = temp.len;
		Sech(temp.v);
	}
}
int Query(int x, int y)
{
	int j, ans = 0;
	if(deep[x]<deep[y])
		swap(x, y);
	for(j=14;j>=0;j--)			//①：先让更深的那个节点往上爬，直到它们深度相同（有可能此时两个节点刚好相遇）
	{
		if(deep[fa[x][j]]>=deep[y])
		{
			ans = max(ans, bet[x][j]);
			x = fa[x][j];
		}
	}
	if(x==y)
		return ans;
	for(j=14;j>=0;j--)					//②：两个同时爬
	{
		if(fa[x][j]!=fa[y][j])
		{
			ans = max(ans, bet[x][j]);
			ans = max(ans, bet[y][j]);
			x = fa[x][j];
			y = fa[y][j];
		}
	}
	ans = max(ans, bet[x][0]);
	ans = max(ans, bet[y][0]);
	return ans;
}
int main(void)
{
	int n, m, k, i, j, t1, t2, x, y;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for(i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d", &s[i].u, &s[i].v, &s[i].len);
	sort(s+1, s+m+1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		t1 = Find(s[i].u);
		t2 = Find(s[i].v);
		if(t1!=t2)
		{
			ufs[t1] = t2;
			temp = s[i];
			G[s[i].u].push_back(temp);
			temp.u = s[i].v, temp.v = s[i].u;
			G[s[i].v].push_back(temp);
		}
	}
	Sech(1);
	for(j=1;j<=14;j++)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)					//倍增
		{
			fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1];
			bet[i][j] = max(bet[i][j-1], bet[fa[i][j-1]][j-1]);
		}
	}
	for(i=1;i<=k;i++)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n", Query(x, y));
	}
}