【数据结构】认识算法和算法分析（时间复杂度和空间复杂度）

文章目录

一、算法

1.定义

2.算法的特性

3.算法的设计要求

1.时间复杂度

(1)定义

(2)推导大O阶方法

(3)常见的时间复杂度，按数量级递增排序

(4)最坏情况和平均情况

2.空间复杂度

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一、算法

1.定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并每条指令表示一个或多个操作。

2.算法的特性

1）输入：算法具有零个或多个输入（输入参数）。

2）输出：算法至少有一个输出（输出的形式可以是打印输出，也可以是返回一个或多个值等）。

3）有穷性：算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并每一个步骤在可接受的时间内完成。

4）确定性：算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性。

5）可行性：算法每一步能够通过执行有限次数完成。

3.算法的设计要求

1）正确性：算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

2）可读性：便于阅读、理解、交流。

3）健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。 

4）时间效率高和存储量低（高效率低存储）

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 二、算法分析

算法分析主要是指分析算法的效率。

算法效率主要从两个方面来衡量：算法的运行时间和算法所需的存储空间。

在算法分析中，用算法的时间复杂度和空间复杂度来度量这两个方面的效率。

1.时间复杂度

(1)定义

• 在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。
• 算法的时间复杂度就是算法的时间度量，记为：T(n)=O（f(n)）。它表示问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n）的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。f(n)是问题规模n的某个函数。

(2)推导大O阶方法

1）用常数1取代运行时间中所有加法常数

2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3）如果最高阶存在并且不是1，则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大O阶

(3)常见的时间复杂度，按数量级递增排序

数量级表达	阶
常数阶	O（1）
对数阶	O（log n）
线性阶	O（n）
nlogn阶	O（nlogn）
平方阶	O（n^2）
立方阶	O（n^3）
指数阶	O（2^n）
阶乘阶	O（n!）
n^n阶	O（n^n）

(4)最坏情况和平均情况

• 最坏情况是运行时间将不会再坏。通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
• 平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

2.空间复杂度

（1）定义

• 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现。空间复杂度的计算公式记为：S（n）=O(f(n))，n是问题的规模
• 一般情况下，若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间对于输入数据而言是一个常数，空间复杂度为O（1）