堆排序以及应用

堆的定义

堆是一颗完全二叉树，但不是一颗二叉排序树，堆只要求父节点是最大节点（大顶堆）或者是最小节点（小顶堆），并不对左右孩子的大小做要求。

堆为什么能用来排序

以大顶堆为例子，每一次都对二叉树构建一个大顶堆，那么根节点一定是所有节点的最大值，把根节点输出（一般是将根节点和最后一个节点交换）。此时剩下的节点不再符合大顶堆的定义，需要再做调整，当再一次满足大顶堆的时候，继续输出原数组中的第二大元素。直到所有的元素都输出，原先无序的数组就能按从大到小排序起来。

图解大顶堆

以一颗完全二叉树为例，构建一个大顶堆。

原始时刻，i是二叉树中最后一个父母节点，i往后的节点都是叶子节点。larger始终指向一颗以i为根节点的子树中的最大节点，left是每次调整子树时larger指向节点的左孩子，right是每次调整子树时larger指向节点的右孩子。

建堆。自顶向上调整，自右向左，开始构建大顶堆

1。以i为根节点的节点4比左孩子节点8要小，所以larger指向节点8

2。节点4还有右孩子节点9未比较，所以拿larger指向的节点8与i的右孩子节点9相比较，节点9更大，所以larger指向节点9。

3。既然节点9就是最大节点，按照大顶堆的定义，将节点9和节点4交换即可。此时larger指向的节点已经是叶子节点，所以不需要再往下调整成堆，父节点i后退一步，指向上一位父母节点3。

4。按照步骤1_{步骤3对节点3为根节点的子树继续做大顶堆调整。最大节点7和节点3交换。此后指针i回退到上一个父母节点2。按照步骤1}步骤3，节点2和最大节点9做交换。

5。步骤4中节点2和节点9交换后，larger指向的节点还有子树，所以不确定larger指向的节点2是否是以其为根节点的子树的最大节点，因此还需要对节点2为根节点的子树按步骤1~步骤3继续做大顶堆调整。

6。以节点2为根节点的子树调整，节点2和节点8做比较，节点8更大，所以larger指针指向节点8。节点2还有右孩子节点4，节点4和larger指向的节点8比较，节点8最大，所以larger指针不变。最后将最大值8和根节点2交换。

7。此时i回退到原先二叉树的根节点节点1处，从根节点1开始按照步骤1~步骤3做大顶堆调整。




至此大顶堆调整结束。

根节点出堆：将节点9和节点1做交换，就可以拿到原数组里面的最大值9，再将数组长度减1，此时交换上去的节点1不是大顶堆的最大值，按照上述步骤继续调整成大顶堆(注意此时只是节点1不满足大顶堆，所以只需要将根节点1调整。实质上就只是做了堆调整的最后一步）。堆的插入同理，也是先插入到最后一个元素，再调整成堆。

Java代码

public class BigTopHeap {
   
    public void buildHeap(int[] nums,int heapSize) {
      //建堆
        for(int i = heapSize  / 2 - 1; i >= 0; i--) {
   
            downToUpAdjust(nums,i,heapSize);
        }
    }

    public void downToUpAdjust(