数据结构图（九）_有向图中顶点的入度之和与出度之和的关系?-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/J_admin/article/details/143371665

提示：从今天开始讲解数据结构图相关的知识

文章目录

图概念的引入
图概念的实例
图的定义
图的基本术语
- 邻接点、相关边
完全图
子图
顶点的度
- 附赠练习题
路径、回路
连通的概念
强连通
权、网
- 附赠练习题

图概念的引入

图是一种比线性表和树更加复杂的数据结构。

在线性表中，数据元素之间呈现一种线性关系，即每个元素只有一个直接前驱和一个直接后继；

在树结构中，结点之间是一种层次关系，即每个结点只有一个直接前驱，但可有多个直接后继；

在图结构中，每个结点既可以有多个直接前驱，也可以有多个直接后继。

图概念的实例

在实际生活中，有许多应用问题都可以归结为图的问题。那么什么是图呢？简单地说，图是一个由点及点之间的连线组成的集合。
示例：交通旅游中，城市和城市间距离的信息就可以使用一个图来描述

图的定义

图的定义
图(Graph)是由顶点和边组成的，记为G=(V，E)，其中V是顶点的非空有穷集合，E是用顶点对表示的边的有穷集合。

无向图：若图G中表示边的顶点对是无序的，则称G为无向图。
通常用（vi，vj）表示顶点vi和vj间相连的边。在无向图中，（vi，vj）和（vj ，vi）表示同一条边。
如图所示：
在这里插入图片描述
有向图：若图G中表示边的顶点对是有序的，则称G为有向图。有向边通常称为弧；

用<vi，vj>表示从顶点vi到顶点vj 的一条弧，并称vi为弧尾（或初始点），称vj为弧头（或终端点）。在有向图中，〈vi，vj〉和〈vj ，vi〉表示两条不同的弧。

如图所示：
在这里插入图片描述

图的基本术语

邻接点、相关边

对于无向图G =（V，E），若边（vi，vj）∈E，则称vi和vj互为邻接点，即vi和vj相邻接，而边（vi，vj）则是与顶点vi和vj相关联的边。

例如: 下图中，与v2相关联的边有（v1，v2）和（v2，v4）。 v1，v2互为邻接点， v2，v4互为邻接点。
在这里插入图片描述

对于有向图G=（V，A），若弧〈vi，vj〉∈A，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接顶点vi，而弧<vi，vj>和顶点vi、vj相关联。
例如：在下图中，v3邻接到v0, v0邻接v3。而与v3相关联的弧有<v1，v3>和<v3，v0>。
在这里插入图片描述

完全图

在无向图中，若每对顶点之间都连有一条边，则称该图为无向完全图，因此有n个顶点的完全无向图的边数为n(n-1)／2。

同理可知，具有n（n-1）条弧的有向图称为有向完全图。
在这里插入图片描述

子图

对于图G＝(V，E)，G’＝(V’，E’)，若有V’∈V，E’∈E，则称图G’是G的子图。
在这里插入图片描述

顶点的度

顶点的度：是图中和vi相关联的边的数目，记为TD（vi）。
例如无向图中v0的度为1，v3的度为3，V1的度为3。
在这里插入图片描述
在有向图中，要区别顶点的入度和出度的概念。
顶点vi的入度：是指以vi为头的弧的数目；
顶点vi的出度：是指以vi 为尾的弧的数目，
所以顶点vi的度TD（vi）=入度（vi）+出度（vi）。

附赠练习题

在一个图中,所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。
（A）1/2（B）1（C）2（D）4

在一个有向图中,所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的（）倍。
（A）1/2（B）1（C）2（D）4

路径、回路

无向图G=（V，E）中，从顶点v到顶点v‘间的路径是一个顶点序列（v= vi0，，vi1，vi2，．．．，vim =v’）
若是有向图，则路径也是有向的。路径上边或弧的数目称为路径长度。如果路径的起点和终点相同(即v=v’)，则称此路径为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。

连通的概念

若从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj是连通的。
如果无向图中任意两个顶点vi和vj(i≠j)都是连通的，则称该无向图是连通图。

无向图中极大连通子图称为连通分量。
连通图中的极大连通子图就是其本身。非连通图中有多个。
对于非连通图：不连通的无向图又可以分为若干个连通子图，其中有这样的连通子图，它包含了图中尽可能多的顶点以及尽可能多的边，以至于它再加上一个点或者边之后它就不连通了，此时这个图就是极大连通子图。
图（a）中的G3是一个非连通图，它有两个连通分量，见图 (b)。
在这里插入图片描述