【51Nod】1013 3的幂的和

最新推荐文章于 2022-09-03 14:10:14 发布

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#快速幂

本文介绍了一种计算等比数列前n项和的方法，并通过快速幂运算结合乘法逆元解决取模问题。具体地，给出了计算3^0+3^1+…+3^(N)mod1000000007的C++实现。

文章出处：http://blog.youkuaiyun.com/jinbaosite/article/details/72676514?utm_source=itdadao&utm_medium=referral

题意

求：3^0 + 3^1 +…+ 3^(N) mod 1000000007

解题思路

由等比数列的前n相和，我们可以得到
3n+1−12%1000000007
我们知道AB%C≠A%CB%C%C和(A∗B)%C=(A%C∗B%C)%C
所以我们要将除法转为乘法，引入乘法逆元。
乘法逆元：如果x与y的积除以z所得的余数为1，即xy = 1 (mod z)，则称x和y对于模数z来说互为逆元。
假定(B∗X)%C=1则
AB%C=AB∗1%C=AB%C∗1%C=AB%C∗(B∗X)%C=(AB∗B∗X)%C=(A∗X)%C
在本题中，2*500000004 = 1 （mod 1000000007），所以500000004是2对于1000000007的逆元。则
3n+1−12%1000000007=(3n+1−1)∗500000004%1000000007
对于ab%c，采用快速幂运算即可。

参考代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll MOD = 1000000007;
ll mod_pow(ll n){
    ll k=3,ans=1;
    while (n){
        if (n&1) ans=(ans*k)%MOD;
        n/=2;
        k=(k*k)%MOD;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll n;
    while (cin>>n){
        ll ans=((mod_pow(n+1)-1)*500000004)%MOD;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}