寒假作业,蓝桥杯2016年第6题(A组)

一道小学寒假数学题引发的思考:如何利用1~13的数字填空,使得四则运算等式成立且数字不重复?考虑加法与乘法交换律,探究不同解法的数量。

寒假作业

现在小学的数学题目也不是那么好玩的。 
看看这个寒假作业:

□ + □ = □ 
□ - □ = □ 
□ × □ = □ 
□ ÷ □ = □

(如果显示不出来,可以参见【图1.jpg】)

每个方块代表1~13中的某一个数字,但不能重复。 
比如: 
6 + 7 = 13 
9 - 8 = 1 
3 * 4 = 12 
10 / 2 = 5

以及: 
7 + 6 = 13 
9 - 8 = 1 
3 * 4 = 12 
10 / 2 = 5

就算两种解法。(加法,乘法交换律后算不同的方案)

你一共找到了多少种方案?

请填写表示方案数目的整数。 
注意:你提交的应该是一个整数,不要填写任何多余的内容或说明性文字。

### 蓝桥杯 2016 初赛 寒假作业 目解析 #### 目描述 每个方块代表1~13中的一个数字,但不能重复。例如: - `6 + 7 = 13` - `9 - 8 = 1` - `3 * 4 = 12` - `10 / 2 = 5` 以及: - `7 + 6 = 13` (加法交换律视为不同方案) - `9 - 8 = 1` - `3 * 4 = 12` - `10 / 2 = 5` 目标是找出所有可能的合方式。 #### 解决思路 为了找到所有的解决方案,可以采用暴力枚举的方法来遍历所有可能的情况。由于有四个运算符(+-*、/),并且每个位置上的数都不能相同,因此可以通过排列合的方式尝试每一种可能性,并验证其是否满足条件。 对于每一个操作符的选择,都需要考虑两个操作数之间的关系并计算结果是否符合条件。特别是除法的情况下需要注意分母不为零的问[^1]。 #### Python 实现代码 下面是一个简单的Python程序实现上述逻辑: ```python from itertools import permutations, product def check_equation(a, b, op): if op == '+': return a + b elif op == '-': return a - b elif op == '*': return a * b elif op == '/': if b != 0 and a % b == 0: return int(a / b) else: return None return None count = 0 for nums in permutations(range(1, 14), 8): # 取八个不同的数作为候选集 ops = ['+', '-', '*', '/'] for o1, o2, o3, o4 in product(ops, repeat=4): eq1_result = check_equation(nums[0], nums[1], o1) eq2_result = check_equation(nums[2], nums[3], o2) eq3_result = check_equation(nums[4], nums[5], o3) eq4_result = check_equation(nums[6], nums[7], o4) if (eq1_result is not None and eq2_result is not None and eq3_result is not None and eq4_result is not None): results = sorted([eq1_result, eq2_result, eq3_result, eq4_result]) if all(x == y for x, y in zip(results[:-1], results[1:])): count += 1 print(count) ``` 这段代码通过迭代器库生成了所有可能的操作序列,并逐一检验它们能否形成有效的等式链。最终统计出符合条件的不同方案总数[^2]。
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