leetcode-圆圈中最后剩下的数字-优快云博客

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题目来自LeetCode，链接：面试题62. 圆圈中最后剩下的数字。具体描述为：0,1,…,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

相信学过算法的同学一看就知道这就是约瑟夫问题，所以就可以有两种方法。第一种就是模拟整个删除过程，这种的时间复杂度达到了 $O (m n)$ 。

JAVA版代码如下：

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        List<Integer> circle = new LinkedList<>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            circle.add(i);
        }
        int removeIdx = (m - 1) % n;
        while (n > 1) {
            circle.remove(circle.get(removeIdx));
            removeIdx = (removeIdx + m - 1) % (--n);
        }
        return circle.get(0);
    }
}

毫无疑问地就超时了，所以这道题还是得用数学来解决。

首先来看第一次删除的是第 $k=m\%n$ 个数（注意索引从0开始所以删除的是数字k-1），也就是剩下了
$0,1,\cdots,k-2,k,\cdots,n-1$

那么接下来会怎么删除呢，因为是从第k个数开始再往后数m个数，所以我们可以把上面给重新排列如下：
$k,\cdots,n-1,0,1,\cdots,k-2\tag{1}$

不妨将其映射到
$0,1,\cdots,n-2\tag{2}$

那不就变成了在n-1个数中删除第 $k=m\%(n-1)$ 个数了吗，总是这样下去最终会变成只剩一个数0的情况（也就是式（2）的终极情况）。那么问题来了，如何确定这个最终的0对应于最开始n个数中的哪一个呢。这也不难，只需要看式（2）到式（1）是怎样的关系就好了，简单观察一下可知两者的关系为 $x_{1}=(x_{2}+k)\%n=(x_{2}+m)\%n$ ，类似地当有n-1个数时此关系为 $x_{1}=(x_{2}+m)\%(n-1)$ 。现在只需要确定最终剩下的0对应于n个数的哪个，反复迭代即可：

$\begin{aligned} r_{2}&=(0+m)\%2\\ r_{3}&=(r_{2}+m)\%3\\ &\cdots\\ r_{n}&=(r_{n-1}+m)\%n \end{aligned}$

JAVA版代码如下：

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        int result = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            result = (result + m) % i;
        }
        return result;
    }
}

提交结果如下:

Python版代码如下：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        result = 0
        for i in range(2, n + 1):
            result = (result + m) % i
        return result

提交结果如下: