[BZOJ3072]-[Pa2012]Two Cakes-dp有效状态+记搜

说在前面

为什么这么热啊！！！简直受不了啊QAQ
舍不得开空调，感觉浪费电，又没有风扇，要死……

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题目

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题目大意

给出两个长度为 $n$ 的排列，现在需要把这两个排列按顺序抄一遍
你可以左手右手分别写一个排列，但是同一时刻左右手写的数字不能相同（如果相同了，就只能先写其中一个）
每写一个数字消耗 $1$ 单位时间，询问最快多久可以写完
范围：$n\leq 10^6$

输入输出格式

输入格式：
第一行一个整数 $n$
接下来 $n$ 个整数表示第一个排列
再接下来 $n$ 个整数表示第二个排列

输出格式：
输出一行一个数字，表示答案

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解法

感觉还是比较有意思的
首先 $n^2$ 的 $dp$ 是显然的：$dp[i][j] \longleftarrow min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1$
如果$a_i\neq b_j$，那么 $dp[i][j]\longleftarrow dp[i-1][j-1]+1$

考虑对这个 $dp$ 进行简化
如果遇见相同的数字，肯定有一个排列延后一步，这个延后我们完全没有必要提前进行（也就是只有恰好 $a_i=b_j$ 的时候才延后），可以证明是不影响答案的

那么，如果$a_i=b_j$，那么就像上面的第一个式子那样转移
不然就 $dp[i][j]\longleftarrow dp[i-t][j-t]+t$，其中$a_{i-t+k}\neq b_{j-t+k},1\leq k\leq t$ 且 $a_{i-t}=b_{j-t}$
可以发现有用的状态就只有 $n$ 个，也就是当$a_i=b_j$时的 $dp[i][j]$

那么我们可以记忆化有用状态，对于其它的状态我们只需要快速得知 $t$ 是多少就可以了
那么如何快速计算 $t$ 呢？我们可以采用二分答案！我们可以找出所有的「在两个序列中位置差为$i-j$的数字」，然后按照在 $a$ 中出现的位置排序。因为$a_{i-t}=b_{j-t}$，那么$i-t$也就是在「位置差为$i-j$的数组」中，第一个小于 $i$ 的数字

对于每个有用状态，需要用两个转移去计算，每个转移需要${\log_2} n$的时间去二分 $t$，所以总时间复杂度$\Theta(n\log_2 n)$
然后这道题就做完了

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下面是自带大常数的代码

#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int N , a[1000005] , b[1000005] , arcB[1000005] , dp[1000005] ;
vector<int> dif[2000005] ;

void read_( int &x ){
    x = 0 ; char ch = getchar() ;
    while( ch < '0' || ch > '9' ) ch = getchar() ;
    while( ch >='0' && ch <='9' ) x = (x<<1) + (x<<3) + ch - '0' , ch = getchar() ;
}

inline int getPre( int dt , int pos ){
    int lf = 0 , rg = dif[dt].size() - 1 , rt = 0 ;
    while( lf <= rg ){
        int mid = ( lf + rg ) >> 1 ;
        if( dif[dt][mid] <= pos ) rt = dif[dt][mid] , lf = mid + 1 ;
        else rg = mid - 1 ;
    } return rt ;
}

int dfs( int i , int j ){
    if( !i || !j ) return i|j ;
    if( a[i] == b[j] ){
        if( !dp[i] ) dp[i] = min( dfs( i - 1 , j ) , dfs( i , j - 1 ) ) + 1 ;
        return dp[i] ;
    } int pre = getPre( i - j + N , i ) ;
    return pre ? dfs( pre , j - i + pre ) + i - pre : max( i , j ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d" , &N ) ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read_( a[i] ) ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
        read_( b[i] ) , arcB[ b[i] ] = i ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
        dif[ i - arcB[a[i]] + N ].push_back( i ) ;
    printf( "%d" , dfs( N , N ) ) ;
}