BZOJ 3072 Two Cakes - 记忆化搜索（dp状态优化）

最新推荐文章于 2022-07-29 14:55:32 发布

x_1023

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分类专栏：计数DP

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本文介绍了一种优化动态规划算法解决序列比对问题的方法。通过避免不必要的计算并利用辅助数据结构来减少时间复杂度，实现了高效的匹配。文章详细解释了优化策略，并提供了实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先基础dp方程很好写：
1.若a[i]==b[j] dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1
2.若a[i]!=b[j] dp[i][j]=dp[i-1][j-1]

时间复杂度 $O(n^2)$ ，肯定是过不了，然后优化第二个状态-1操作，若有连续一段不等的序列，那么可以直接跳到下一个相等的节点。考虑一下这个跳的操作怎么维护。由于i与j的差值在跳的过程中不变，设为delta，那么可以在初始化的过程中将每一个元素在两个序列中的间隔求出来，存在vector中，查询时直接查询delta的vector。由于需要查找的是i之前的第一个，于是可以lower_bound再-1。记忆化搜索一下会好写很多，第一份代码为此思路的代码。

而dp[][]二维数组，很明显空间复杂度过大，于是思考跳的过程中，对于a[i]!=b[j]，i,j能更新的状态是唯一的，即dp[i+1]j和dp[i]j+1，而若括号里的任意一种条件都不满足，则这种状态永远都不会被搜索到，于是不记录a[i]!=b[j]的状态，仅用一个一维数组记录a[i]==b[j]的状态即可。

ac代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=1000005;

int n;
int a[maxn],b[maxn],pos[maxn],dp[maxn];
vector<int>s[maxn<<1];

int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
int memorial_search(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(a[x]==b[y])
    {
        if(dp[x]!=-1)return dp[x];
        return dp[x]=min(memorial_search(x-1,y),memorial_search(x,y-1))+1;
    }
    else
    {
        int now=lower_bound(s[x-y+n].begin(),s[x-y+n].end(),x)-s[x-y+n].begin()-1;
        if(now<0)
            return max(x,y);
        else
        {
            int delta=x-s[x-y+n][now];
            return memorial_search(x-delta,y-delta)+delta;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)pos[b[i]=read()]=i;
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int delta=i-pos[a[i]]+n;//+n防溢出边界 
        s[delta].push_back(i);
    }
    printf("%d",memorial_search(n,n));
    return 0;
}

原始代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=5005;

int n;
int a[maxn],b[maxn],pos[maxn],dp[maxn][maxn];
vector<int>s[maxn<<1];

int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
int memorial_search(int x,int y)
{
    if(dp[x][y]!=-1)return dp[x][y];
    if(!x||!y) return x+y;
    int &res=dp[x][y];
    if(a[x]==b[y])res=min(memorial_search(x-1,y),memorial_search(x,y-1))+1;
    else
    {
        int now=lower_bound(s[x-y+n].begin(),s[x-y+n].end(),x)-s[x-y+n].begin()-1;
        if(now<0)
        {
            if(x>=y)res=memorial_search(x-y,0)+y;
            else res=memorial_search(0,y-x)+x;
        }
        else
        {
            int delta=x-s[x-y+n][now]+1;
            res=memorial_search(x-delta,y-delta)+delta+1;
        }
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)pos[b[i]=read()]=i;
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int delta=i-pos[a[i]]+n;//+n防溢出边界 
        s[delta].push_back(i);
    }
    printf("%d",memorial_search(n,n));
    return 0;
}