[BZOJ1492]-[NOI2007]货币兑换Cash-斜率优化+CDQ

本文介绍了解决BZOJ1492问题的一种方法,使用动态凸包对DP过程进行优化,以降低时间复杂度。通过斜率优化,结合CDQ分治策略,实现高效的状态转移。

说在前面

自己居然蠢到连凸包都可以写错,没救了…


题目

BZOJ1492传送门
这题面太长= =
幸好不是权限题,看题可以进传送门


解法

关于dp式子的推导,在me另一篇动态凸包的题解里,附传送门

假设已经推出转移式,大概是这样 dp[i]=A[i]x+B[i]y d p [ i ] = A [ i ] ∗ x + B [ i ] ∗ y (其中 x=Rate[j]dp[j]A[j]Rate[j]+B[j] x = R a t e [ j ] ∗ d p [ j ] A [ j ] ∗ R a t e [ j ] + B [ j ] y=dp[j]A[j]Rate[j]+B[j] y = d p [ j ] A [ j ] ∗ R a t e [ j ] + B [ j ]
这个式子直接上的复杂度是 Θ(N2) Θ ( N 2 ) 的,时间复杂度不能承受,于是考虑优化。发现转移式是一个直线的表达式,于是想到斜率优化。对式子进行移项,得到 y=A[i]B[i]x+dp[i]B[i] y = − A [ i ] B [ i ] x + d p [ i ] B [ i ] ,其中,我们希望纵截距尽可能大。显然这样的点(x,y)一定在凸包上。
但是这个式子的x和y都不单调,不能用单调队列或者单调栈进行优化,于是可以采用splay维护动态凸包,每次询问就在凸包里二分找到最优的点。然后将新得到的这个点插入凸包中即可。

当然,还有一种更简单的方法,CDQ分治。因为i只能由1到i-1转移过来,于是可以先递归处理左区间,用左区间更新右区间的答案,然后再递归处理右区间。因为左区间的dp值已经求出了,所以可以作出凸包,而右区间的询问按照斜率从大到小排序,这样就可以用两个指针扫一扫完成更新。
左区间的凸包需要x有序,这一步可以用类似归并的思想,右区间询问的顺序也可以预先跑一遍归并处理出来。这样总时间复杂度是 Θ(NlogN) Θ ( N l o g N ) 的。(当然也可以在每一层都sort一遍,上界 Θ(Nlog2N) Θ ( N l o g 2 N ) 也可以过)

关于凸包,凸包只要叉乘小于等于0就必须出栈,因为等于0的情况可能是两个点重在一起,如果后面有更优的点,这两个点就无法出栈了


下面是代码

/**************************************************************
    Problem: 1492
    User: Izumihanako
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:968 ms
    Memory:16448 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

int N , seq[18][100005] ;
double dp[100006] , A[100005] , B[100005] , R[100006] , slo[100005] ;
struct Point{
    double x , y ;
} p[100005] , cvx[100005] , tmp[100005] ;

typedef Point Vector ;
Vector operator + ( const Vector &A , const Vector &B ){ return ( Vector ){ A.x + B.x , A.y + B.y } ; }
Vector operator - ( const Vector &A , const Vector &B ){ return ( Vector ){ A.x - B.x , A.y - B.y } ; }
double cross( const Vector &A , const Vector &B ){ return A.x * B.y - A.y * B.x ; }
double slope( const Point &A , const Point &B ){ return ( B.y - A.y ) / ( B.x - A.x ) ; } ;

void mergeSort( int dep , int lf , int rg ){
    if( lf == rg ) return ( void )( seq[dep][lf] = lf ) ;
    int mid = ( lf + rg ) >> 1 , Lpt = lf , Rpt = mid + 1 , pt = lf ;
    mergeSort( dep + 1 , lf , mid ) ;
    mergeSort( dep + 1 , mid+1,rg ) ;
    while( Lpt <= mid && Rpt <= rg ){
        if( slo[ seq[dep+1][Lpt] ] >= slo[ seq[dep+1][Rpt] ] )
            seq[dep][pt] = seq[dep+1][Lpt] , Lpt ++ , pt ++ ;
        else
            seq[dep][pt] = seq[dep+1][Rpt] , Rpt ++ , pt ++ ;
    }
    while( Lpt <= mid ) seq[dep][pt] = seq[dep+1][Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
    while( Rpt <=  rg ) seq[dep][pt] = seq[dep+1][Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
}

void CDQ( int dep , int lf , int rg ){
    if( lf == rg ){
        dp[lf] = max( dp[lf] , dp[lf-1] ) ;
        double tmp = dp[lf] / ( A[lf] * R[lf] + B[lf] ) ;
        p[lf] = ( Point ){ R[lf] * tmp , tmp } ;
        return ;
    }
    int mid = ( lf + rg ) >> 1 , topp = 0 ;
    CDQ( dep + 1 , lf , mid ) ;
    // convex
    for( int i = lf ; i <= mid ; i ++ ){
        while( topp > 1 && cross( p[i] - cvx[topp-1] , cvx[topp] - cvx[topp-1] ) <= 0 ) topp -- ;
        cvx[++topp] = p[i] ;
    }
    // update dp[]
    for( int i = mid + 1 , pt = 1 ; i <= rg ; i ++ ){
        int id = seq[dep][i] ;
        while( pt < topp && slope( cvx[pt] , cvx[pt+1] ) > slo[id] ) pt ++ ;
        dp[id] = max( dp[id] , A[id] * cvx[pt].x + B[id] * cvx[pt].y ) ;
    }
    CDQ( dep + 1 , mid+1,rg ) ;
    //sort point by x , preparing for upper
    int Lpt = lf , Rpt = mid + 1 , pt = lf ;
    while( Lpt <= mid && Rpt <= rg ){
        if( p[Lpt].x <= p[Rpt].x ) tmp[pt] = p[Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
        else                       tmp[pt] = p[Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
    }
    while( Lpt <= mid ) tmp[pt] = p[Lpt] , pt ++ , Lpt ++ ;
    while( Rpt <=  rg ) tmp[pt] = p[Rpt] , pt ++ , Rpt ++ ;
    for( int i = lf ; i <= rg ; i ++ ) p[i] = tmp[i] ;
}

void solve(){
    mergeSort( 0 , 1 , N ) ;
    CDQ( 1 , 1 , N ) ;
    printf( "%.3f" , dp[N] ) ;
}

int main(){
    scanf( "%d%lf" , &N , &dp[0] ) ;
    for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ){
        scanf( "%lf%lf%lf" , &A[i] , &B[i] , &R[i] ) ;
        slo[i] = - A[i] / B[i] ;
    }
    solve() ;
}
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