[ICPC2019 沈阳网络赛]-J.Ghh Matin-补集转化

说在前面

感觉现在打ACM容易没有想清楚就写，为了赶时间
还是该有一点OI的冷静思考

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题目

计蒜客T41404传送门

题目大意

给出数字$N,K$，求出满足以下条件的图有多少种

• 该图有$N$个点
• 每个点恰好有一条入边，一条出边
• 不能出现长度大于K的环

有T组数据，每组数据满足$N\le 10^6,\frac{N}{2}\le K\le 10^9$
且保证$\sum N\le 10^7$

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解法

首先，整个图是由若干个环（包括自环）构成的
正向做可以$\Theta (N^2)$的dp
定义$f[i]$表示符合的图有多少种，转移$f[i]=\sum \left(f[i-j]\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{j-1}\right)\ast (j-1)!\right)$，注意$j\le K$
但是没办法优化emmmm

发现数据范围有点意思，$\frac{N}{2}\le K$意味着，如果某个图不合法，那么它有且仅有一个环长度大于$K$。计算方案的话，枚举这个不合法的环，剩下的部分随便构成"环图”，而$N$个点构成的"环图"总共有$N!$个
所以补集和全集都很好算，这题就做完了

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下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;

const int mmod = 1e9 + 7 , inv2 = 500000004 ;
int T , N , X ;
long long fac[1000005] , ifac[1000005] ;

long long s_pow( long long x , int b ){
	long long rt = 1 ;
	while( b ){
		if( b&1 ) rt = rt * x %mmod ;
		x = x * x %mmod , b >>= 1 ;
	} return rt ;
}

void preWork(){
	ifac[0] = fac[0] = 1 ;
	for( int i = 1 ; i <= 1000000 ; i ++ ) fac[i] = fac[i-1] * i %mmod ;
	ifac[1000000] = s_pow( fac[1000000] , mmod - 2 ) ;
	for( int i = 999999 ; i ; i -- ) ifac[i] = ifac[i+1] * ( i + 1 )%mmod ;
}

long long Comb( int n , int m ){
	return fac[n] * ifac[m] %mmod * ifac[n-m]%mmod ;
}

void solve(){
	long long frac_up = 0 ;
	for( int i = X + 1 ; i <= N ; i ++ ){
		long long cnt = Comb( N , i ) * fac[i-1] %mmod * fac[N-i] %mmod ;
		frac_up = ( frac_up + cnt ) %mmod ;
	}
	frac_up = ( fac[N] - frac_up + mmod )%mmod ;
	long long ifrac_down = ifac[N] ;
	printf( "%lld\n" , frac_up * ifrac_down %mmod ) ;
}

int main(){
	scanf( "%d" , &T ) ;
	preWork() ;
	for( int i = 1 ; i <= T ; i ++ ){
		scanf( "%d%d" , &N , &X ) ;
		solve() ;
	}
}