Project-Euler-032思维

最新推荐文章于 2021-03-07 19:10:40 发布

原创最新推荐文章于 2021-03-07 19:10:40 发布 · 286 阅读

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本文探讨了全数字乘积的问题，即在一个乘法等式中，被乘数、乘数和乘积恰好包含1至9所有数字各一次。通过分析，确定了解决方案的可能形式，使用深度搜索和标记策略预处理符合条件的数字，最终计算出所有满足条件的乘积之和。

032题：

题意：

全数字的乘积

如果一个n位数包含了1至n的所有数字恰好一次，我们称它为全数字的；例如，五位数15234就是1至5全数字的。

7254是一个特殊的乘积，因为在等式39 × 186 = 7254中，被乘数、乘数和乘积恰好是1至9全数字的。

找出所有被乘数、乘数和乘积恰好是1至9全数字的乘法等式，并求出这些等式中乘积的和。

注意：有些乘积可能从多个乘法等式中得到，但在求和的时候只计算一次

思路：

和之前一样，不讲暴力。我们想要满足被乘数、乘数和乘积恰好是1至9全数字的，必须保证乘数位数+被乘数位数+乘积位数 = 9

我们知道，乘积位数 = 乘数位数 + 被乘数位数 - 0或1；我们可进一步去重，保证乘数位数 <= 被乘数位数

因此我们发现要想存在1～9全数字乘法等式，只有两种情况：

1.乘数是1位数，被乘数是4位数，乘积是4位数

2.乘数是2位数，被乘数是3位数，乘积是4位数

我们进一步优化，可用dfs+标记找出所有的位值不同的2位数，3位数,4位数,然后用筛选过的2位数乘3位数，看是否满足全数字；再用1位数乘4位数，看是否满足全数字。满足的乘积用map处理一下，第一次出现的累加到结果中

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
#include <map>
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ll int64_t
#define d int32_t
using namespace std;

d num[5][3500];   //num[i][j]表示预处理i位数每位不相同的数，其中num[i][0]代表i位这样的数的个数
d book [15];      //标记数组
d ans = 0;        //总结果
map <d, d>zcy;    //用于映射满足条件的乘积

void dfs(d n, d inx, d val) {      //n代表位数，inx代表当前位, val代表数字的值
    if (inx == n) {
        num[n][++num[n][0]] = val;
        return;
    }
    for (d i = 1; i <= 9; i++) {
        if (!book[i]) {
            book[i] = 1;
            dfs(n, inx + 1, val * 10 + i);
            book[i] = 0;
        }
    }
    return;
}
//预处理函数
void init() {
    mem(book);
    mem(num);
    zcy.clear();
    num[1][0] = 8;
    //预处理1,2,3,4位数每位不相同的数
    for (d i = 2; i <= 9; i++) {
        num[1][i - 1] = i;
    }
    for (d i = 2; i < 5; i ++) {
        mem(book);
        dfs (i, 0, 0);
    }
}

//用于判断单个数字
bool chooes1(d x, d *sum) {
    while (x) {
        if (book[x % 10] || (x % 10 == 0)) {
            return 0;
        }
        *sum += 1;
        book [x % 10] = 1;
        x /= 10;
    }
    return 1;
}

//用于判断乘法算式是否为全数字
void chooes(d x, d y, d z) {
    mem(book);
    d sum = 0;
    bool flag1 = chooes1(x, &sum);
    bool flag2 = chooes1(y, &sum);
    bool flag3 = chooes1(z, &sum);
    if (flag1 && flag2 && flag3 && sum == 9) {
        if (!zcy[z]) {
            ans += z;
            zcy[z] = 1;
        }
    }
    return;
}

void work() {
    for (d i = 1; i <= num[1][0]; i++) {        //处理1位数*4位数
        d x = num[1][i];
        for (d j = 1; j <= num[4][0]; j++) {
            d y = num[4][j];
            d z = x * y;
            chooes(x, y, z);
        }
    }
    for (d i = 1; i <= num[2][0]; i++) {        //处理2位数*3位数
        d x = num[2][i];
        for (d j = 1; j <= num[3][0]; j++) {
            d y = num[3][j];
            d z = x * y;
            chooes(x, y, z);
        }
    }
    return;
}

d main() {
    init();
    work();
    printf("%" PRId32"\n", ans);
    return 0;
}

最后结果是45228

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