九度OJ题目1081：递推数列解题报告

题目1081：递推数列

时间限制：1 秒

内存限制：32 兆

特殊判题：否

提交：7791

解决：1088

题目描述：

给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q。这里n >= 2。 求第k个数对10000的模。

输入：

输入包括5个整数：a0、a1、p、q、k。

输出：

第k个数a(k)对10000的模。

样例输入：

20 1 1 14 5

样例输出：

8359

解题思路：在按常规思路做这道题的时候，总是wrong answer或者Time Limit Exceed，后来参考了别人的做法，才AC，不过有一处还是没弄太懂，此处是别人的做法，供以后再思考吧。

      

       

        
         
题目分析1：
         


         
         

          一个很显然的想法是递推计算这k+1个数对10000的模，实现如下：
         
         


         
         
源代码1（TLE）
         


         
         

          

           

            

             [cpp] 
             view plain
              copy
             

              
             
             
            
           
           
#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#define MOD 10000  
    
int main()  
{  
    int a0, a1, p, q, k;  
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)  
    {  
        int *pa = (int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));  
        pa[0] = a0;  
        pa[1] = a1;  
        int i;  
        for(i = 2; i <= k; i++)                      //时间复杂度为O(k)  
            pa[i] = (p * pa[i-1] + q * pa[i-2])%MOD;  
        printf("%d\n", pa[k]);  
        free(pa);  
    }  
    //system("pause");  
    return 0;  
}  
/************************************************************** 
    Problem: 1081 
    User: superlc320 
    Language: C++ 
    Result: Time Limit Exceed 
****************************************************************/  
          

          
题目分析2：
         
         


         
         

          很不幸，超时了。以上算法的时间复杂度为O(k), 当k很大时，会TLE。
         
         

          再次分析题目，会发现递推公式
         
         

          

         
         


         
         

          进而推出
         
         

          

         
         


         
         

          问题转化为求
         
         

          

         
         


         
         

          这里要用到 矩阵二分乘法。
         
         

          矩阵二分乘法是一种有效的快速计算矩阵幂的算法。
         
         

          矩阵二分乘法通常可以将线性递推问题O(n)时间缩短到O（log(n)）。
         
         

          关于矩阵二分乘法更详细的内容可以问度娘。
         
         


         
         
源代码2
         


         
         

          

           

            

             [cpp] 
             view plain
              copy
             

              
             
             
            
           
           
#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#define MOD 10000       //结果取MOD，避免高精度运算  
   
/*将矩阵p与矩阵q相乘，结果存入p矩阵*/  
void Matrix_mul(int p[2][2], int q[2][2])  
{  
    int i, j, k;  
    int t[2][2]={0};  
    for(i = 0; i <= 1; i++)  
        for(j = 0; j <= 1; j++)  
            for(k = 0; k <= 1; k++)  
                t[i][j] += p[i][k] * q[k][j];  
    for(i = 0; i <= 1; i++)  
        for(j = 0; j <= 1; j++)  
            p[i][j] = t[i][j] % MOD;  
}  
   
/*计算p矩阵的n次方，结果存入p矩阵*/  
void Matrix_cal(int p[2][2], int n)  
{  
    int i, j;  
    int t[2][2];  
    for(i = 0; i <= 1; i++)  
        for(j = 0; j <= 1; j++)  
            t[i][j] = p[i][j];  
    if(n == 1)   
        return;  
    else if(n & 1)  
    {  
        Matrix_cal(p, n-1);  
        Matrix_mul(p, t);  
    }  
    else  
    {  
        Matrix_cal(p, n/2);  
        Matrix_mul(p, p);  
    }  
}  
    
int main()  
{  
    int a0, a1, p, q, k;  
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)  
    {  
        if(k == 0)   
            printf("%d\n", a0);    
        else if(k == 1)   
            printf("%d\n", a1);   
        else  
        {  
            int matrix[2][2] = { {p%MOD, q%MOD}, {1, 0} };  
            Matrix_cal(matrix, k-1);  
            printf("%d\n", (a1 * matrix[0][0] + a0 * matrix[0][1]) % MOD);  
        }  
    }  
    //system("pause");  
    return 0;  
}  
/************************************************************** 
    Problem: 1081 
    User: superlc320 
    Language: C++ 
    Result: Accepted 
    Time:10 ms 
    Memory:1020 kb 
****************************************************************/  
           

             
           
           

             
           
           

            
           
          
         
        
        
         源代码3
        
        
         

          
          

           
#include <stdio.h>  
   
#define MOD 10000  
   
typedef struct matrix{  
    int a00, a01, a10, a11;  
}Matrix;  
   
void MatrixMul(Matrix * m, Matrix * n){  
    Matrix tmp;  
    tmp.a00 = (m->a00 * n->a00 + m->a01 * n->a10) % MOD;  
    tmp.a01 = (m->a00 * n->a01 + m->a01 * n->a11) % MOD;  
    tmp.a10 = (m->a10 * n->a00 + m->a11 * n->a10) % MOD;  
    tmp.a11 = (m->a10 * n->a01 + m->a11 * n->a11) % MOD;  
    *m = tmp;  
}  
   
int main(void){  
    int a0, a1, p, q, k;  
   
    while (scanf ("%d%d%d%d%d",  
            &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF){  
        if (k == 0) {printf ("%d\n", a0 % MOD); continue;}  
        if (k == 1) {printf ("%d\n", a1 % MOD); continue;}  
        Matrix pq = {p%MOD, q%MOD, 1, 0};  
        Matrix ans = {1, 0, 0, 1};  
        --k;  
        while (k >= 1){  
            if ((k & 1) == 1)  
                MatrixMul (&ans, &pq);  
            MatrixMul (&pq, &pq);  
            k = k >> 1;  
        }  
        printf ("%d\n", (ans.a00*a1+ans.a01*a0) % MOD);  
    }  
   
    return 0;  
}  
           

            
           
           

             
           
          

         
        
       
      
      

       
       
       
       
       
       
      
      

       

        
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