动态规划详细学习路线

本文围绕动态规划展开,介绍其基本概念,具有重叠子问题和最优子结构性质。讲解经典问题,如01背包、最长公共子序列、最大子序列和等的解法。阐述解决思路,包括确定状态、定义转移方程、明确初始状态和边界条件等。还介绍了状态压缩、滚动数组等优化技巧。

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一.理解动态规划的基本概念:

        动态规划是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学方法。在动态规划中,问题通常被分解为多个阶段或子问题,并通过保存中间结果来避免重复计算,从而找到问题的最优解。

        动态规划问题通常具有两个重要性质:重叠子问题和最优子结构。重叠子问题意味着问题的解可以通过子问题的解重复计算得到,最优子结构意味着问题的最优解可以由子问题的最优推导而来。

二.学习经典的动态规划问题:

        了解和学习一些经典的动态规划问题,例如01背包问题,最长公共子序列问题,最大子序列和问题等。这些问题具有典型的动态规划解法,通过学习他们可以加深对动态规划思想的理解。

        1.01背包问题:

                问题描述:有一组物品,每件物品有对应的价值和重量,背包有一定的容量限制,目标是选择一些物品放入背包使得总价值最大。

                例子:假设有如下的物品信息:

                1.    物品1:   重量 2,价值 3

                2.   物品2:   重量 3,价值 4

                3.   物品3:   重量 4,价值 5

                4.   物品4:   重量 5,价值 8

                背包的容量限制为10

                我们可以使用动态规划来解决这个问题。首先定义一个二维数组dp,其中dp[ i ] [ j ]表示在只考虑前 个物品,且背包容量为 j 时的最大价值。

                状态转移方程:

                如果第 i 个物品重量大于当前背包容量 j ,则dp[ i ] [ j ] = dp[ i - 1 ] [ j ] ,表示当前物品无法放入背包,保持上一个状态的最大价值。

                如果第 个物品重量小于等于当前背包容量 j ,则 dp[i][j] = max(dp [i - 1][ j ], dp [i - 1][j - w[ i ]] + v [ i ] ) , 表示当前物品可以选择放入背包,比较放入和不放入的价值,选择最大的作为最优解。

                公式理解:

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