线性代数学习笔记3-5：关于秩的小结、秩1矩阵、矩阵相加的秩（矩阵作为向量构成的空间）

秩

• 行 / 列向量组的极大无关向量组的向量个数
• 矩阵$\mathbf{A}$的行 / 列空间维数
• 方程的系数矩阵经过消元后的主元 / 主变量个数

列向量线性无关$⟺$矩阵列满秩$⟺$矩阵的零空间只有0点（方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$有唯一零解，没有非零解）

秩1矩阵

秩1矩阵就是只有1行 / 1列“有用信息”的矩阵，其任意两行 / 两列线性相关

具体而言，秩1矩阵形如$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$，其各行 / 各列都是第一行 / 第一列的倍数

一般的，秩1矩阵$\mathbf{A}$可以写为：$\mathbf{A}=\mathbf{U}{\mathbf{V}}^T$，其中$\mathbf{U}$和$\mathbf{V}$为列向量

因此，秩1矩阵总能被写成列向量 x 行向量的形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$

关注秩1矩阵的原因是，秩1矩阵就像“积木”，能够搭出任意矩阵
秩为$r$的矩阵，总能被分解为$r$个秩1矩阵的乘积

引入：矩阵作为“向量”构成的空间

为了方便研究矩阵相加所得矩阵的秩，引入一个新的“向量空间”，其中的“向量”是矩阵

将矩阵作为“向量”，也能构成“向量空间”，因为矩阵之间的加法和数乘都满足“向量”所需要遵守的规则（ps. 这里忽略矩阵之间能够相乘的事实）

以长度为$n$的列向量为“向量”，可以张成一个空间${\mathbf{R}}^n$
以大小为$n\times n$的矩阵为“向量”，可以张成一个空间${\mathbf{R}}^{n\times n}$

研究这些新的“向量空间”，只要明确其 基和维数，即可获得整个空间的信息

• 对于所有3x3矩阵所构成的空间$\mathbf{M}$，其“标准基”为$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\dots \dots ,\left[\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
  共有9个基，维数为9
• 对于所有3x3上三角矩阵构成的空间$\mathbf{U}$，其“标准基”为$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\dots \dots ,\left[\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
  共有6个基，维数为6
• 对于所有3x3对称矩阵构成的空间$\mathbf{S}$，其“标准基”为$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\dots \dots ,\left[\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
  共有6个基，维数为6

以前说过，向量空间和向量空间的交集，仍为向量空间

• 例如对称矩阵空间$\mathbf{S}$和三角矩阵空间$\mathbf{U}$的交集为对角矩阵$\mathbf{D}$，记为$\mathbf{S}\cap \mathbf{U}=\mathbf{D}$
• 所有3x3对角矩阵构成的空间$\mathbf{D}$其“标准基”为$\left[\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
  共有3个基，维数为3

$\mathbf{S}$和$\mathbf{U}$的并集，则不是一个向量空间（这就好像三维空间中的两个平面的并集，其中的向量相加，得到的向量不再属于这个集合，没有封闭性，不是向量空间）

$\mathbf{S}$和$\mathbf{U}$中所有“向量”相加的所有可能和 构成的集合，是一个向量空间，我们称为“和集”$\mathbf{S}+\mathbf{U}$
$\mathbf{S}+\mathbf{U}$实际上就是所有3x3矩阵所构成的空间$\mathbf{M}$，其基向量有9个，其维度为9

由此我们得到了秩的法则：
$$dim\mathbf{S}+dim\mathbf{U}=dim(\mathbf{S}\cap \mathbf{U})+dim(\mathbf{S}+\mathbf{U})$$

用上面的例子验证一下：6+6=3+9
证明思路：从基的角度出发，$\mathbf{S}+\mathbf{U}$的基 = $\mathbf{S}$的基+$\mathbf{U}$的基-交集$\mathbf{S}\cap \mathbf{U}$的基

最终我们证明了：两个矩阵之和的秩 小于 每个矩阵秩的和

所有3x3矩阵所构成的空间$\mathbf{M}$中，所有秩小于等于4的矩阵组成的集合，是向量空间吗？
不是。
根据上面的结论，取集合中的两个矩阵，这两个矩阵相加，秩很可能大于4，即$$dim(\mathbf{S}+\mathbf{U})=dim\mathbf{S}+dim\mathbf{U}-dim(\mathbf{S}\cap \mathbf{U})$$这说明，两个矩阵相加，对于这个集合不封闭，所以这不是一个向量空间（例如上面的上三角与对称阵相加，秩就增大了）