背包问题——01背包、完全背包、多重背包、分组背包（Python）

背包问题

背包问题是经典的动态规划问题之一

这里只讨论01背包、完全背包问题，其余的暂不讨论

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动态规划五部曲：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
• 确定递推公式
• dp数组如何初始化
• 确定遍历顺序
• 举例推导dp数组

01背包

01背包指的是给定n个物品，每个物品有两个属性：

• w[i]：第i个物品的重量（weight）
• v[i]：第i个物品的价值（value）

再给一个背包容量W（能承受的最大总重量），问我们：

从这n个物品中选择若干个（每个物品最多只能选择一次），使得在不超过总容量W的前提下，获得的最大价值是多少？

力扣原题：
416. 分割等和子集
1049. 最后一块石头的重量 II
494. 目标和
474. 一和零

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1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

我们初始化了如下的dp数组，其中行代表背包的可用容量，列代表可用的物品。dp[i][j]代表容量为j的背包装入前i个物品的最大价值

物品\容量	0	1	2	3	4
0
1
2
3
4

2.dp数组初始化
对于容量为0的背包，面对所有的物品选择都只能不装入，因此所有的价值都是0，对于任意容量的背包，不选择物品的价值都是0

物品\容量	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0

3.确定递推公式
在我们选择第i个物品时有两种选择方案：
1.不将当前物品装入背包
2.将当前物品装入背包

将当前第i物品装入背包时，我们的价值为：
1.不将物品装入背包，因此价值为相同容量下选择i-1个物品的价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]
2.将物品装入背包，因此价值为容量j-w[i]下的价值加上当前物品的价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j - w[i]] + v[i]
综合来说，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i])

4.确定遍历顺序
先按行遍历，再按列遍历，从1开始

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滚动数组优化

完全背包

完全背包指的是给定n个物品，每个物品有两个属性：

• w[i]：第i个物品的重量（weight）
• v[i]：第i个物品的价值（value）

再给一个背包容量W（能承受的最大总重量），问我们：

从这n个物品中选择若干个（每个物品可以选择多次），使得在不超过总容量W的前提下，获得的最大价值是多少？

力扣原题：
518. 零钱兑换 II
377. 组合总和 Ⅳ
322. 零钱兑换
279. 完全平方数
139. 单词拆分