数据结构基础：P4.2-树(二)---＞二叉平衡树_一到十二月的二叉排序树-优快云博客

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文章目录

前言
一、什么是平衡二叉树
二、平衡二叉树的调整
三、代码实现
小测验

前言

从上一节二叉搜索树的例子我们可以看到，查找的效率跟树的高度有关，因为我们可能一直找找找找到叶结点为止。而对同样的n个结点来讲，树的高度跟树的结构有很大关系。如果树的结构不好，都只有左/右儿子，全串在一起形成一条链往左/右边倾斜，它的高度是n-1，这是最坏的情况。那这就达不到我们想要的 ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\rm{2}}}{\rm{N}}$ 复杂度。所以总的来讲我们希望这个树看起来比较平衡，不往一边倒。所以这就是我们现在要提到的一个重要的知识点：平衡二叉树。

一、什么是平衡二叉树

对于二叉搜索树来说，它的结点不同的插入顺序会导致这个树的结构不一样，也就是树的深度也会不一样，最终会导致它的查找效率会不一样。

下面我们看看三种不同的结点插入顺序所造成的不同的树的样子：
第一棵树的插入顺序是按照1-12月份的月份顺序来进行插入的。
第二棵树是按照我们指定的一种顺序来插入的。
第三棵树是按照月份字符串的大小(按照月份英文单词的字典顺序)这种顺序来插入。

分析

①平均查找长度
从上面我们可以看到，同样的12个结点按照不同的顺序插入，就形成了不同的二叉搜索树。这些不同的二叉搜索树，它的查找效率是不一样的。所谓查找效率，其衡量指标叫平均查找长度(Average Search Length, ASL)。也就是说，我要找这些月份平均要找几次。ASL计算方式：将每一层的结点总数×这一层的层数，并累加起来，最后除以总的结点数。
因此，对于上面三种插入顺序，其平均查找长度如下：
${\rm{ASL}}\left( {\rm{a}} \right){\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 3 + 5 \times 2 + 6 \times 1}}} \right){\rm{/12 = 3}}{\rm{.5}}$
${\rm{ASL}}\left( {\rm{b}} \right){\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + 2 \times 2 + 3 \times 4 + 4 \times 5}}} \right){\rm{/12 = 3}}$
${\rm{ASL}}\left( {\rm{c}} \right){\rm{ = }}\left( {{\rm{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12}}} \right){\rm{/12 = 6}}{\rm{.5}}$
②平衡因子
从上面可以明显看到，第二个图的平均查找长度是最短的，所以这样的一种树结构是比较好的。这样的树结构的特点大家一眼可以看出来，它总体上给你感觉是比较平衡的，左右两边比较均匀。我们可以使用平衡因子来衡量平衡程度。
平衡因子(Balance Factor，简称BF)： ${\rm{BF(T) = }}{{\rm{h}}_{\rm{L}}}{\rm{ - }}{{\rm{h}}_{\rm{R}}}$ ，其中 ${{\rm{h}}_{\rm{L}}}$ 和 ${{\rm{h}}_{\rm{R}}}$ 分别为T的左、右子树的高度。平衡二叉树(Balanced Binary Tree)不为空时，任一结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，即 $\left| {{\rm{BF}}\left( {\rm{T}} \right)} \right| \le {\rm{1 }}$ 。
③例子
我们看下面三棵树是否为平衡二叉树：

第一棵树3那个结点左子树高度为2，右子树高度为0，所以不是
第二棵树所有结点的平衡因子绝对值都小于等于1，所以是平衡二叉树
第三棵树的根结点7的左子树高度为3，右子树高度为2，所以不是。

对于有n个结点的完全二叉树，树的高度就是 ${\log _{\rm{2}}}{\rm{n}}$ 。那么平衡二叉树它的树的高度能达到 ${\log _{\rm{2}}}{\rm{n}}$ 这样一个档次吗，这是我们关心的这样的一个问题。那么我们下面我们来推导看看到底它能不能达到。

设 ${{\rm{n}}_{\rm{h}}}$ 是高度为 $\rm{h}$ 的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时，根结点左右子树的高度相差为1，如下所示：

从上图可以看出： ${{\rm{n}}_{\rm{h}}} = {{\rm{n}}_{{\rm{h - 1}}}} + {{\rm{n}}_{{\rm{h - 2}}}} + 1$ ，即最少结点数等于左子树结点数+右子树结点数+1。看到这个结果让我们想起了斐波那契序列，唯一不同的是，我们这里只是多加了个1。

现在我们一次看看各个深度的平衡二叉树对应的最小结点数是多少。

我们列出平衡二叉树的高度、最小结点数和斐波那契数列的关系，如下所示：

可以看出： ${{\rm{n}}_{\rm{h}}}{\rm{ = }}{{\rm{F}}_{{\rm{h + 2}}}}{\rm{ - 1, (h}} \ge {\rm{0) }}$ 。
而斐波那契数列又可以换算成： ${{\rm{F}}_{\rm{i}}} \approx \frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{5}} }}{\left( {\frac{{{\rm{1 + }}\sqrt {\rm{5}} }}{{\rm{2}}}} \right)^{\rm{i}}}$ 。
所以可以推出： ${{\rm{n}}_{\rm{h}}} \approx \frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{5}} }}{\left( {\frac{{{\rm{1 + }}\sqrt {\rm{5}} }}{{\rm{2}}}} \right)^{{\rm{h + 2}}}}$ 。所以取对数，
可以得到： ${\rm{h = O(lo}}{{\rm{g}}_{\rm{2}}}{\rm{n)}}$ 。
最终可以得出结论：给定结点数为 n 的AVL树的最大高度为 ${\rm{O(lo}}{{\rm{g}}_{\rm{2}}}{\rm{n)}}$ 。

二、平衡二叉树的调整

平衡二叉树它也是一个搜索树，搜索树的查找、插入、删除之类的操作在平衡二叉树上面也可以做。这里就碰到一个问题，当我插入的时候，会把原来平衡的一棵树变得不平衡了，这个时候怎么办。

我们看个例子
我们现在有一个树的根结点Mar，其平衡因子为0。

现在来了一个新的结点May，现在这棵树还是平衡二叉树，根结点的平衡因子为-1。

接下来又来了一个November，那么它插在May的右边，这一插上去这棵树就不平衡了。

2.1 RR旋转

所以我们要调整，很自然的一个想法就是调整成一个根结点，然后左边右边各一个就平衡了。大家要注意平衡二叉树是一个搜索树，后面所有的调整一定要保证它仍然是搜索树。对这样的一种调整方法，可以把它抽象成这种模式：就是说我这个树本来是平衡的，后来来了一个结点插入的时候，某个结点平衡点被破坏了，所以这个时候我们需要调。我们要去发现谁破坏了谁，这个Mar是平衡被破坏的发现者。是谁导致了不平衡呢，是有一个麻烦结点Nov。它们两者的关系是，麻烦的结点是挂在发现者的右子树的右子树上，这种旋转叫做RR旋转(Right Right Rotation)，这种插入又叫RR插入，所以这是平衡树调整的第一种模式。

把它概括一下大概是这样的一种模式：就是我原来有一个二叉树是平衡的(下图所示)，现在插入了某个结点( ${{\rm{B}}_{\rm{R}}}$ 下面那个结点)使得某个结点(结点 $\rm{A}$ )平衡性被破坏了。那么插入的这个结点挂在被破坏的结点的右子树的右子树上，这个时候我们做RR旋转。它的基本过程为：把被破坏的结点的右子树( $\rm{B}$ )拎上来，然后被破坏的结点A作为B的左儿子。那B原来的左儿子 ${{\rm{B}}_{\rm{L}}}$ 应该放哪里呢？它比B小，比A大，所以要挂在A的右边。

我们来看两个例子：
现在这平衡二叉树插入一个结点15，按照RR旋转后成为以下结构。

现在这颗平衡二叉树插入一个结点13，按照RR旋转后成为以下结构。

2.2 LL旋转

现在我有这么一颗平衡二叉树

现在我要插入八月份Apr，此时May和Mar的平衡性被破坏。

如果有两个结点平衡性被破坏，我们只处理最下面的那个就行。因此，类似于RR旋转，我们进行LL旋转(左单旋)。把被破坏者Mar的左子树Aug提起来，被破坏者Mar作为其右子树。

我们也可以用一个基本的框架把它画出来。

2.3 LR旋转

我们在这棵树上插入一个结点 January

②根据大小它应该是插在Mar的左边，此时破坏者(Jan)挂在破坏发现者May左子树的右子树上。这个时候我们要重点关注这三个结点(May、Aug、Mar)。

③要把这三个结点调平衡，根据大小关系应该调成这样。

最后调整结果如下：

我们也可以用一个基本框架把这个这个过程画下来：

2.4 RL旋转

我们现在有这样一棵平衡二叉树

现在插入一个结点Feb，它破坏了Aug的平衡性。现在要将Aug、Jan、Dec这三个结点调平衡。

这三个结点的调整后的关系如下所示。

最后调整结果如下：

我们也可以用一个基本框架把这个这个过程画下来：

我们看个例子
在这里插入图片描述

调整后结果如下：
在这里插入图片描述

三、代码实现

左单旋与左右双旋的代码如下：

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};

int Max ( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     

    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;
    B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;
 
    return B;
}

AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
  /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
    
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}

/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/

AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } /* if (插入空树) 结束 */

    else if ( X < T->Data ) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert( T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
            if ( X < T->Left->Data ) 
               T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else 
               T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
    } /* else if (插入左子树) 结束 */
    
    else if ( X > T->Data ) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert( T->Right, X );
        /* 如果需要右旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
            if ( X > T->Right->Data ) 
               T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else 
               T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
    } /* else if (插入右子树) 结束 */

    /* else X == T->Data，无须插入 */

    /* 别忘了更新树高 */
    T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;
    
    return T;
}