连通性专题

前情提要

关于图的数据结构

template<int MaxN,int MaxM>
struct Graphs{
	int Last[MaxN],cntn;
	int To[MaxM],Next[MaxM],cntm;
	Graphs(){
		cntn=cntm=0;
		memset(Last,-1,sizeof(Last));
	}
	inline void Clear(){
		cntn=cntm=0;
		memset(Last,-1,sizeof(Last));
	}
};

template<typename Typename>
inline void Insert(Typename&G,int from,int to){
	G.To[G.cntm]=to;
	G.Next[G.cntm]=G.Last[from];G.Last[from]=G.cntm++;
}

若有特殊情况 $,$ 会特殊标明 $.$

注意初始化

无向图连通性

定义

$Df{n}_x$ 为点 $x$ 的时间戳 $.$
$Lo{w}_x$ 为满足以下条件点的 $Dfn$ 的最小值 $.$

1. 搜索树中以 $x$ 为根的子树中的节点 $.$
2. 通过 $1$ 条不在搜索树上的边能够到达上述节点的节点 $.$

无向图的割边

若无向边 $(x,y)$ 是割边 $,$ 满足 $:$ $($ 其中 $y^{\prime }$ 为搜索树中 $x$ 的子节点 $)$
$$Df{n}_x<Lo{w}_{y^{\prime }}$$
根据定义 $,$ 说明如果不通过边 $(x,y)$ $,$ $y^{\prime }$ 不能回到 $x$ 之前的节点 $,$ 故边 $(x,y)$ 为原图的一条割边 $.$

Graphs<MaxN,MaxM>G;
int Dfn[MaxN],Low[MaxN],tot;
bool Bridge[MaxM];
inline void Tarjan(int from,int last){
	Dfn[from]=Low[from]=++tot;
	for(register int k=G.Last[from];k!=-1;k=G.Next[k]){
		if(!Dfn[G.To[k]]){
			Tarjan(G.To[k],k);
			Low[from]=Min(Low[from],Low[G.To[k]]);
			if(Low[G.To[k]]>Low[from])
				Bridge[k]=Bridge[k^1]=true;
		}
		else if(k!=last^1)
			Low[from]=Min(Low[from],Dfn[G.To[k]]);
	}
}

inline void Work(){
	Insert(G,x,y);
	Insert(G,y,x);
}

第 $13$ 行的判断语句是为了防止父节点的 $Low$ 更新现有节点 $,$ 其中 $last\oplus 1$ 是因为无向图的两条边编号是相邻的 $,$ 编号异或 $1$ 就是反边的编号 $,$ 后面的网络流也会有这种技巧 $.$

无向图的割点

若点 $x$ 是割点 $,$ 满足 $:$ $($ 其中 $y^{\prime }$ 为搜索树中 $x$ 的子节点 $)$
$$Df{n}_x\le Lo{w}_{y^{\prime }},x\ne root$$
特别的 $,$ 若 $x$ 为搜索树的根节点 $,$ $x$ 为割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点 $y_1^{\prime },y_2^{\prime }$ 满足上述条件 $.$

根据定义 $,$ $Df{n}_x=Lo{w}_{y^{\prime }}$ 时 $,$ 原图就被割点分成两个部分 $,$ $y^{\prime }$ 所在的一边与 $x$ 有多条边相连 $.$

Graphs<MaxN,MaxM>G;
int Dfn[MaxN],Low[MaxN],tot;
bool Cut[MaxM];
inline void Tarjan(int from,int root){
	Dfn[from]=Low[from]=++tot;
	int flag=0;
	for(register int k=G.Last[k];k!=-1;k=G.Next[k]){
		if(!Dfn[G.To[k]]){
			Tarjan(G.To[k],root);
			Low[from]=Min(Low[from],Low[G.To[k]]);
			if(Dfn[from]<=Low[G.To[k]]){
				flag++;
				if(from!=root||flag>1)
					Cut[from]=true;
			}
		}
		else Low[from]=Min(Low[from],Dfn[G.To[k]]);
	}
}

inline void Work(){
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		if(!Dfn[i])Tarjan(i,i);
}

注意事项 $:$

1. 第 $17$ 行的原则应判断G.To[k]!=dad $,$ 但出于简洁和不影响正确性的前提 $,$ 舍去了判断 $,$ 请读者理解 $.$

点双连通分量缩点

每一个割点可能在多个点双连通分量 $.$

Graphs<MaxN,MaxM>G;
Stack<int,MaxN>S;
vector<int>VDcc[MaxN];
int Dfn[MaxN],Low[MaxN],tot;
bool Cut[MaxM];
int Belong[MaxN],vdcc;
inline void Tarjan(int from,int root){
	Dfn[from]=Low[from]=++tot;
	S.Push(from);
	if(from==root&&G.Last[from]==-1){
		VDcc[++vdcc].push_back(from);
		return;
	}
	int flag=0;
	for(register int k=G.Last[k];k!=-1;k=G.Next[k]){
		if(!Dfn[G.To[k]]){
			Tarjan(G.To[k],root);
			Low[from]=Min(Low[from],Low[G.To[k]]);
			if(Dfn[from]<=Low[G.To[k]]){
				flag++;
				if(from!=root||flag>1)
					Cut[from]=true;
				vdcc++;int now;
				do{
					now=S.Top();S.Pop();
					VDcc[vdcc].push_back(now);
				}while(now!=G.To[k]);
				VDcc[vdcc].push_back(from);
			}
		}
		else Low[from]=Min(Low[from],Dfn[G.To[k]]);
	}
}

Graphs<2*MaxN,2*MaxN>Tree;

inline void Work(){
	num=vdcc;
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		if(Cut[i])Id[i]=++num;
	for(register int i=1;i<=vdcc;i++){
		int vsize=VDcc[i].size();//安全求稳 
		for(register int j=0;j<vsize;j++){
			if(Cut[VDcc[i][j]]){
				Insert(Tree,i,Id[VDcc[i][j]]);
				Insert(Tree,Id[VDcc[i][j]],i);
			}
			else Belong[VDcc[i][j]]=i;
		}
	}
}

边双连通分量缩点

int Belong[MaxN],edcc;
inline void Dfs(int from){
	Belong[from]=edcc;
	for(rgeister int k=G.Last[from];k!=-1;k=G.Next[k]){
		if(Belong[G.To[k]]||Bridge[k])continue;
		Dfs(G.To[k]);
	}
}

Graphs<MaxN,MaxN>Tree;

inline void Work(){
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		if(!Belong[i]){
			edcc++;
			Dfs(i);
		}
	}
	for(register int i=0;i<G.cntm;i++){
		if(Belong[G.To[i^1]]==Belong[G.To[i]])continue;
		Insert(Tree,Belong[G.To[i^1]],Belong[G.To[i]]);
	}
}

注意事项 $:$

1. 第 $21$ 行没有连双向边的原因是这条边的反边也会被遍历 $,$ 要理解透彻 $.$

有向图连通性

定义

$Tarjan$ 算法在 $Dfs$ 中维护了一个栈 $:$

1. 搜索树上 $x$ 的祖先节点 $.$
2. 已访问的 $,$ 存在一条路径到达 $1$ 类的节点 $.$

$Df{n}_x$ 为点 $x$ 的时间戳 $.$
$Lo{w}_x$ 为满足以下条件点的 $Dfn$ 的最小值 $.$

1. 在栈中的节点 $.$
2. 通过 $1$ 条从搜索树上出发的有向边能到达的节点 $.$

强连通分量缩点

如果节点 $x$ 的栈构成一个强连通分量 $,$ 满足 $:$
$$Df{n}_x=Lo{w}_x$$
然而我不会证明 $.$

其实就是我的搜索子树到不了祖先 $,$ 至于那些出栈的点 $,$ 他自己都没能出来 $,$ 不可能能到我们这 $.$

Graphs<MaxN,MaxM>G;
Stack<int,MaxN>S;
vector<int>Scc[MaxN];
int Dfn[MaxN],Low[MaxM],tot,scc;
bool Visit[MaxN];
inline void Tarjan(int from){
	Dfn[from]=Low[from]=++tot;
	S.Push(from);Visit[from]=true;
	for(register int k=G.Last[from];k!=-1;k=G.Next[k]){
		if(!Dfn[G.To[k]]){
			Tarjan(G.To[k]);
			Low[from]=Min(Low[from],Low[G.To[k]]);
		}
		else if(Visit[G.To[k]])
			Low[from]=Min(Low[from],Dfn[G.To[k]]);
	}
	if(Dfn[from]==Low[from]){
		scc++;int now;
		do{
			now=S.Top();S.Pop();Visit[now]=false;
			Belong[now]=scc;Scc[scc].push_back(now);
		}while(from!=now);
	}
}
Graphs<MaxN,MaxN>Tree;
inline void Work(){
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		for(register int k=G.Last[i];k!=-1;k=G.Next[k]){
			if(Belong[i]==Belong[G.To[k]])continue;
			Insert(Tree,Belong[i],Belong[G.To[k]]);
		}
}

有向图的必经点和必经边

支配树

Dag Hash