【数学建模笔记】1.线性规划_有四个工人,指派他们完成4项工作数学建模-优快云博客

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1.线性规划的Matlab标准形式

$min\, c^{^{T}}x$

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leqslant b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb\leqslant x\leq \leqslant ub \end{matrix}\right.$

Matlab 中求解线性规划的命令为

[x,fval]=linprog(c,A,b)
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

求解下列线性规划问题

例1： $max\, z=2x_{1}+3x_{2}-5x_{3}$

$s.t.\, \, \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}=7\\ 2x_{1}-5x_{2}+x_{3}\geqslant 10\\ x_{1}+3x_{2}+x_{3}\leqslant 12\\ x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

（求最大值在前面加负号）

matlab程序如下：

f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10,12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));%无上界
x,y=-y

答案：

x1 = 6.4286, x2 = 0.5714, x3 = 0 ;
y = 14.5714

例2： $minz=2x_{1}+3x_{2}+x_{3}$

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+4x_{2}+x_{3}\geqslant 8\\ 3x_{1}+2x_{2}\geqslant 6\\ x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

c=[2;3;1]; 
a=[1,4,2;3,2,0]; 
b=[8;6]; 
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))

2. 投资的收益和风险

2.1 问题提出

市场上有 n 种资产 $s_{i}$ （i =1,2,L,n ）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 $s_{i}$ 的平均收益率为 $r_{i}$ ，风险损失率为 $q_{i}$ ，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的 $s_{i}$ 中最大的一个风险来度量。购买 $s_{i}$ 时要付交易费，（费率 $p_{i}$ ），当购买额不超过给定值 $u_{i}$ 时，交易费按购买 $u_{i}$ 计算。另外，假定同期银行存款利率是 $r_{0}$ ，既无交易费又无风险。（ $r_{0}$ = 5%）

已知 n = 4 时相关数据如表 1

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金 M ，有选择地购买若干种资产

或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小

2.2 符号规定和基本假设

2.3 模型的建立和分析

2.4 模型一求解

符号规定：

由于 a 是任意给定的风险度，到底怎样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。从 a = 0 开始，以步长 Δ a = 0.001 进行循环搜索，编制程序如下：

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
 c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
 A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
 b=a*ones(4,1);
 Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
 beq=1;
 LB=zeros(5,1);
 [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
 Q=-Q;
 plot(a,Q,'*r');
 a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')

2.5 结果分析

1. 风险大，收益也大。

2 ．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即：

冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。

3 ．在 a = 0.006 附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，

（保守？）：大约是 a = 0.6% ， Q = 20% ，所对应投资方案为：风险度 a = 0.006 ，收益 Q = 0.2019 ， x 0 = 0 ， x 1 = 0.24 ， x 2 = 0.4 ， x 3 = 0.1091 ， x 4 = 0.2212 。

~~（冒险？）：大约是 a = 2.5% ，Q = 27%，所对应投资方案为：风险度 a = 0.025 ，收益Q = 0.2673，x0 =0，x1 = 0.9901 ，x2 = 0，x3 = 0， x4 = 0。~~

作业1

某厂生产三种产品 I，II，III。每种产品要经过 A、B两道工序加工。设该厂 有两种规格的设备能完成 A 工序，它们以A 1 、A 2 表示；有三种规格的设备能完 成 B 工序，它们以B 1 、B 2 、B 3 表示。产品 I 可在 A、B任何一种规格设备上加 工。产品 II 可在任何规格的 A 设备上加工，但完成 B 工序时，只能在B 1 设 备上加工；产品 III 只能在A 2 与B 2 设备上加工。已知在各种机床设备的单件工 时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备 的费用如表 2，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

解:对产品I来说,设以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 完成A工序的产品分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 件，转入B工序时以 $B_{1},B_{2},B_{3}$ 完成B工序的产品分别为 $x_{3},x_{4},x_{5}$ 件;对产品II来说,设以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 完成A工序的产品分别为 $x_{6},x_{7}$ 件,转入B工序时;以 $B_{1}$ 完成B工序的产品为 $x_{8}$ 件;对产品III来说,设以 $A_{2}$ 完成A工序的产品为 $x_{9}$ 件,则以 $B_{2}$ 完成B工序的产品也为 $x_{9}$ 件。由上述条件得：