分治算法精髓：归并与快排详解

分治算法的核心思想

分治算法（Divide and Conquer）是一种将复杂问题分解为多个相同或相似的子问题，递归解决子问题后合并结果的策略。其核心步骤包括分解、解决和合并。分治算法适用于子问题相互独立且结构相似的场景，能够显著降低问题复杂度。

归并排序和快速排序是分治算法的经典应用。归并排序侧重均匀分解与合并操作，快速排序则通过分区操作实现高效排序。两者均体现分治思想，但实现方式和性能特点不同。

归并排序的实现与分析

归并排序通过递归将数组分为两半，分别排序后合并有序子数组。合并过程需要额外空间存储临时结果，时间复杂度稳定为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

以下为归并排序的Python实现：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = merge_sort(arr[:mid])
    right = merge_sort(arr[mid:])
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] < right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result

该实现通过递归分解数组，merge函数负责合并两个有序子数组。归并排序的稳定性使其适合链表排序等场景，但需注意空间开销。

快速排序的实现与优化

快速排序选择基准元素（pivot）将数组分为两部分，左侧元素小于基准，右侧元素大于基准，递归处理子数组。平均时间复杂度为 $O(n \log n)$，最坏情况下退化为 $O(n^2)$。

基础实现代码示例：

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[len(arr) // 2]
    left = [x for x