并查集详解

并查集

并查集是一种很实用的算法，那么就让我们讲一讲并查集吧！

并查集的定义

1. 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。

2. 并查集通常包含两种操作

1）查找(Find)：查询两个元素是否在同一个集合中

2）合并(Union)：简称uni，就是把两个不相交的集合合并为一个集合

我们来做一道很好的练习题——亲戚。

这道题其实我们可以用搜索，强力搜出两者是否有亲戚关系，可是这也太麻烦了，有没有什么更好的办法呢？

没错，就是并查集。

并查集其实就是一个模板，首先我们来看看find函数。

int find(int x){
    if(f[x]==x){
        return x;
    }else{
        return f[x]=find(f[x]);
    }
}

其中数组f代表了一个人的父节点，如果一个人的父节点是他自己，那么他就到终点了。

如果他还有父亲，那么我们就继续找他的父亲。

那么uni合并函数又是怎样的呢？更简单了：

void uni(int x,int y){
    f[find(y)]=find(x);
}

就是将两个人的父节点变成一个。也就是说，我们找到了父节点，就找到了并查集的根本所在。

其实并查集就是将两个不同的树合并成一个，第一次合并，可能只有两个节点，可到后来就需要两个大树合并成一个超大树，这时我们只需要将其中一棵树的根节点指向另一棵树的根节点，也就是将一棵树放进另一棵树当中，就这么简单！

find

我们接下来先详细解释一下find函数什么意思，请看如下代码：

f[x]=find(f[x]);

可能你看这段代码还不理解，那我们就拿一道题举例：亲戚。

在题目中，我们每个亲戚的关系可以用搜索做，但是这样太麻烦了，我们就要用到并查集中的靠左法则。代码中的x是某一个亲戚，而我们知道，如果一个人的祖先是自己，那他就是最“老”的祖先（根节点），并查集就是利用这种树的关系。

f[x]就是代表一个人的祖先是谁，可是如果我们继续找祖先是否有祖先，发现这个祖先竟然还有祖先，那是不是说，x的祖先另有其人？我们f[x]里要存储的是一个人最“老”的祖先！这段代码是干什么的了呢？当我们要调查一个人的祖先时，就要调用find函数，如果发现它的祖先是自己，那么我们是不是就知道它就是最老的祖先了呢？这时候我们就返回他自己是最老的祖先。如果他的祖先不是自己，也就是他不是最老的祖先，那我们就找他的祖先是否有祖先，如果它的祖先没有祖先，也就是它的祖先是最老的，那么就停止。你发现了没有，这其实就是一个递归的过程，我们修改祖先也就是在回溯的时候，不影响时间复杂度，这时你就知道了吧，find函数就是用这样的原理来寻找并修改自己的祖先的。

union

uni函数包含了两个法则：从根修改法则和靠左法则。

首先我们来看看uni函数的核心代码：

f[find(y)]=find(x);

find函数你已经知道是什么意思了，我们就来看看这是怎么合并的。

如果要将两个结点合并，其实比较简单，就是将一个结点的父节点指向另一个节点，两个树合并，就是要将他们的根结点如上合并，也很简单。我们知道了并查集其实就像一棵树。如果我们将给入的两个节点合并，那可能会使树很深，最后搜索答案麻烦。可是如果我们找到他们的根结点，将其中一棵树的根结点的父亲指向另一个根结点，相当于使一个树的根结点的子树增加，这样的话深度不变，搜索起来很方便，所以我们就要找到两者的最老祖先合并，也就是如上需要调用find函数的原因，而这一步就是从根修改法则的根本。

那靠左法则什么意思呢？更简单，就是将y的最老祖先“认爹”，而这个新的父节点就是x的最老祖先，也就是说认爹祖先在左，父节点在右。

这就是find和uni的主要用途。那我们就拿亲戚这一题举例，看懂代码你就看懂了并查集。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[5001];
int fd(int x){//find
    if(f[x]==x){
        return x;
    }else{
        return f[x]=fd(f[x]);
    }
}
int main(){
    int n,m,p;
    cin>>n>>m>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=i;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        f[fd(y)]=fd(x);//uni
    }
    for(int i=1;i<=p;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        if(fd(x)==fd(y)){//如果祖先相同
            cout<<"Yes"<<endl;
        }else{
            cout<<"No"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

是不是很直白明了！很简单吧！这就是神奇好玩的并查集！！

By ImNot6Dora