Prim算法

cost数组表示的是图的加权值。其中顶点到自身的权值为0,到与自身相接的顶点为它们之间的权值,不直接相连的为INT_MAX。而tree数组准确描述应该是最小生成树的边集,因为一个N个顶点的图中,其最小生成树的边集中的元素只能为N-1。否则如果如果边集大于N-1,那么一定存在回路,如果小于N-1那么一定有一个点不在该树种。near集合中存储的是还未进入最小生成树中的点集。

Prim算法的过程如下:

1)从顶点集合中根据加权值集合找到权值最小的一条边。

2)初始化near集合,判定其他点i到1)中所得的那条边的两个顶点之间距离,将两点中最近的点作为near[i]的初始值,表示未进入最小生成树中的点距离最小生成树最近的点。同时将上述的那条边的两个顶点从near集合中删除(代码中用-1表示)。

3)选择出与最小生成树最近且未进入最小生成树的点,并将其从near集合中删除。

4)修改那些未进入最小生成树中的点到最小生成树中最近的点,即修改near集合。



#include <iostream>
#include <limits>
using namespace std;

const int N = 6;
int cost[N][N] = {{0      ,10     ,INT_MAX,30     ,45     ,INT_MAX},
                  {10     ,0      ,50     ,INT_MAX,40     ,25     },
                  {INT_MAX,50     ,0      ,INT_MAX,35     ,15     },
                  {30     ,INT_MAX,INT_MAX,0      ,INT_MAX,20     },
                  {45     ,40     ,35     ,INT_MAX,0      ,55     },
                  {INT_MAX,25     ,15     ,20     ,55     ,0      }};
int near[N];

int prim(int** tree){
    int k=0, l=1;
    int min = cost[k][l];
    for(int i = 0 ; i < N ; ++i){
      for(int j = i+1; j < N; ++j){
        if(cost[i][j]<min){
          min = cost[i][j];
          k = i;
          l = j;
        }
      }
    }
    tree[0][0] = k, tree[0][1] = l;
    
    for(int i = 0; i < N ; ++i)
      near[i] = (cost[i][k]<cost[i][l])?k:l;
    near[k] = near[l] = -1; // add the vertex k and l to the MST
    
    for(int i = 1; i < N-1; ++i){
      int tmpMin = INT_MAX;
      int flag = 0;
      for(int j = 0; j < N; ++j){
        if(near[j]!=-1 && tmpMin>cost[j][near[j]]){
          tmpMin = cost[j][near[j]];
          flag = j;
        }
      }
      tree[i][0] = flag, tree[i][1] = near[flag];
      near[flag] = -1;
      for(int h = 0; h < N; ++h){
        if(near[h]!=-1 && cost[h][near[h]]>cost[flag][h])
          near[h] = flag;
      }
    }
}

int main(){
    int **tree = new int*[N-1];
    for(int i = 0; i < N-1; i++)
      tree[i] = new int[2];
    prim(tree);
    for(int i = 0 ; i < N-1 ; i++)
      cout<<tree[i][0]<<"->"<<tree[i][1]<<endl;
    delete[] tree;
    system("PAUSE");
}
          


### Prim算法与Kruskal算法的比较 Prim算法和Kruskal算法都是用于求解加权连通图中最小生成树的经典算法。尽管它们的目标相同,但在实现方式、时间复杂度、空间复杂度以及适用场景等方面存在显著差异。 #### 时间复杂度 - **Prim算法**:在最基础的形式下,Prim算法的时间复杂度为 $O(n^2)$,其中 $n$ 表示顶点的数量。通过使用更高效的数据结构如二叉堆优化后,时间复杂度可以降低至 $O(E\log V)$,这里 $E$ 是边的数量,$V$ 是顶点的数量[^1]。 - **Kruskal算法**:Kruskal算法的时间复杂度主要受到排序所有边的影响,通常为 $O(E\log E)$ 或者等价于 $O(E\log V)$,因为边的数量最多可达 $V(V-1)/2$(对于完全图)[^1]。 #### 空间复杂度 - **Prim算法**:其空间复杂度主要取决于顶点数量,大约为 $O(V)$,因为它需要维护一个包含所有顶点的信息的数据结构来跟踪哪些顶点已经被加入到最小生成树中。 - **Kruskal算法**:其空间复杂度则与边数相关,约为 $O(E)$,主要用于存储所有的边及其权重信息。 #### 实现难度 - **Prim算法**:通常认为Prim算法比Kruskal算法更容易实现,尤其是当使用邻接矩阵作为数据结构时。它依赖于优先队列来选择下一个最近的顶点加入到已有的树中。 - **Kruskal算法**:相比之下,Kruskal算法的实现稍微复杂一些,因为它不仅需要对所有边按权重进行排序,还需要一种机制(如并查集)来检测和避免形成环路。 #### 适用场景 - **Prim算法**:更适合处理边稠密的图,即边的数量接近于顶点数量平方的情况。在这种情况下,Prim算法的性能优势更为明显[^3]。 - **Kruskal算法**:对于稀疏图而言,即边的数量远小于顶点数量平方的情况下,Kruskal算法的表现更加出色。由于只需要对所有边进行一次排序,因此在处理大规模稀疏图时效率更高。 综上所述,虽然两种算法都能有效地找到最小生成树,但根据具体的应用场景选择合适的算法是非常重要的。如果图是稠密的,那么Prim算法可能是更好的选择;而对于稀疏图,则推荐使用Kruskal算法。 ```python # 示例代码 - Kruskal算法的基本框架 class UnionFind: def __init__(self, size): self.parent = list(range(size)) def find(self, x): if self.parent[x] != x: self.parent[x] = self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union(self, x, y): rootX = self.find(x) rootY = self.find(y) if rootX == rootY: return False self.parent[rootY] = rootX return True def kruskal(n, edges): uf = UnionFind(n) res = [] for u, v, weight in sorted(edges, key=lambda x: x[2]): if uf.union(u, v): res.append((u, v, weight)) if len(res) == n - 1: break return res ```
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