数论-扩展欧几里得

最新推荐文章于 2024-05-01 00:36:52 发布

Ice_teapoy

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分类专栏： # 数论奇怪的OI/ACM知识合集

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法，一种用于求解最大公约数并找到满足贝祖等式的整数解的方法。通过算法流程解析，展示了如何在求最大公约数的同时找到整数x和y，使得ax+by等于gcd(a,b)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

简介

扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式 $a * x + b * y = g c d (a, b)$ 。

流程

为求解 $a * x + b * y = g c d (a, b)$ ①，
根据普通欧几里得算法， $gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ ，
假设我们已经求出了一组数 $x_2,y_2$ ,满足 $b*x_2+(a\%b)*y_2=gcd(b,a\%b)$ ②,
结合以上三个式子，则有 $b*x_2+(a\%b)*y_2=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)=a*x+b*y$ ，
可推知 $x_1=y_2$ ， $y1=x2−ab∗y2y_1=x_2-\frac{a}{b}*y_2$ 。
问题转化成了求解 $x_2$ ， $y_2$ 。
可以发现，式③的形式与式①完全相同，可以用求解式①的方式求解。
不断重复以上过程，直到 $y_k$ 的系数为0时，得到式k的一组可行解 $x_k$ ， $y_k$ ,
不断将求得的解带回上一层，最终求得式①的一组可行解x，y。

#include <iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y,y=t-(a/b)*y;
    return gcd;
}
int main()
{
	int x,y,a,b;
	cout<<"求解：ax+by=gcd(a,b)\na=";
	cin>>a;
	cout<<"b=";
	cin>>b;
	cout<<"gcd(a,b)="<<exgcd(a,b,x,y)<<endl;
	cout<<"解得：x="<<x<<",y="<<y;
	return 0;
}