<think>我们已知：1.定义dx[i]为根节点（假设为0）到节点i的路径上所有边权的异或值。通过一次DFS可以求出所有dx[i]。2.树上任意两点u和v之间的路径异或值等于dx[u]
xordx[v]（因为从根到u和根到v的路径中，重叠的部分会相互抵消，剩下u到v的路径）。3.问题转化为：在dx数组（有n个数）中，找到两个数，使它们的异或值最大。使用01-Trie树来解决最大异或对问题：-将每个数的二进制表示（从高位到低位）插入到Trie树中（固定位数，比如31位，因为w<2^31，所以最多31位）。-然后对于每个数，在Trie树中查询与它异或结果最大的数：从根开始，每次尽量走与当前位相反的位（这样异或后当前位为1），如果没有相反的位则走相同的位。步骤：1.建树：使用邻接表存储树结构。2.DFS遍历树，计算每个节点的dx值（从根节点0开始，根节点的dx值为0）。3.构建01-Trie：将所有dx值插入Trie树。4.对每个dx值，在Trie树中查询最大异或值，然后取所有结果的最大值。注意：由于树是无根的，我们任意选择一个根（比如0号节点）即可。代码实现细节：-Trie树节点：每个节点有两个孩子，分别表示0和1。-插入：从高位到低位，根据每一位的值（0或1）建立路径。-查询：从高位到低位，尽量选择与当前位不同的分支（如果存在），这样异或后该位为1。时间复杂度：O
(n*31
)≈O
(n
)，可以接受。注意：多组测试数据，需要初始化。下面给出C
++代码实现：</think>### 带权树上最长异或路径的C
++实现（使用Trie优化）
#### 算法核心思想
1. **路径异或转换**
定义$d[u]$为节点$u$到根节点的路径异或和，则任意两点$u,v$间路径的异或和为：
$$ \text{
XOR}
(u,v
) = d[u] \oplus d[v] $$
这个性质成立是因为路径重叠部分会相互抵消[^2]。
2. **问题转化**
原问题等价于：
$$ \max_{u,v \in V} \left
( d[u] \oplus d[v] \right
) $$
3. **01-Trie优化**
使用二进制
字典树高效查询最大异或对：
- 将每个$d[i]$的二进制表示插入Trie
- 对每个$d[i]$，在Trie中查询能产生最大异或值的路径
#### C
++代码实现
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
const int
BIT_LEN = 31; // 31位整数处理
struct Edge {
int v, w;
Edge
(int _v, int _w
) : v
(_v
), w
(_w
) {}
};
vector<Edge> graph[MAXN];
int d[MAXN]; // 存储节点到根节点的异或和
// 01
字典树节点
struct TrieNode {
TrieNode* child[2];
TrieNode
() {
child[0] = child[1] = nullptr;
}
};
// DFS计算前缀异或和
void dfs
(int u, int parent, int cur_
xor) {
d[u] = cur_
xor;
for
(const Edge& e : graph[u]
) {
if
(e.v == parent
) continue;
dfs
(e.v, u, cur_
xor ^ e.w
);
}
}
// 插入数字到
字典树
void insertTrie
(TrieNode* root, int num
) {
TrieNode* node = root;
for
(int i =
BIT_LEN; i >= 0; i--
) {
int
bit =
(num >> i
) & 1;
if
(!node->child[
bit]
) {
node->child[
bit] = new TrieNode
();
}
node = node->child[
bit];
}
}
// 查询与num异或的最大值
int queryTrie
(TrieNode* root, int num
) {
TrieNode* node = root;
int max_
xor = 0;
for
(int i =
BIT_LEN; i >= 0; i--
) {
int
bit =
(num >> i
) & 1;
int toggled = 1 -
bit; // 期望的相反位
if
(node->child[toggled]
) {
max_
xor |=
(1 << i
);
node = node->child[toggled];
} else {
node = node->child[
bit];
}
}
return max_
xor;
}
int main
() {
int n;
while
(cin >> n
) {
// 初始化
for
(int i = 0; i < n; i
++) graph[i].clear
();
memset
(d, 0, sizeof
(d
));
// 读入树结构
for
(int i = 0; i < n-1; i
++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
graph[u].push_back
(Edge
(v, w
));
graph[v].push_back
(Edge
(u, w
));
}
// DFS计算前缀异或和
dfs
(0, -1, 0
);
// 构建
字典树
TrieNode* root = new TrieNode
();
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
insertTrie
(root, d[i]
);
}
// 查询最大异或值
int max_
xor = 0;
for
(int i = 0; i < n; i
++) {
max_
xor = max
(max_
xor, queryTrie
(root, d[i]
));
}
cout << max_
xor << endl;
// 释放
字典树内存（实际竞赛可省略）
// ... 遍历删除Trie节点 ...
}
return 0;
}
```
#### 关键组件解析
1. **数据结构**
- `Edge`：存储邻接点和边权
- `TrieNode`：
字典树节点，包含0/1两个分支
- `d[]`：存储节点到根节点的异或和
2. **核心函数**
- `dfs
()`：深度优先遍历计算路径异或和
- `insertTrie
()`：将数字插入01
字典树
- `queryTrie
()`：在
字典树中查询最大异或值
3. **算法流程**
```mermaid
graph TD
A[输入树结构] --> B[DFS计算d数组]
B --> C[构建01
字典树]
C --> D[遍历d数组查询最大异或]
D --> E[输出结果]
```
#### 复杂度分析
- **时间复杂度**：$O
(n \log W
)$
DFS遍历$O
(n
)$，
字典树操作$O
(\log W
)$，其中$W$为最大边权
- **空间复杂度**：$O
(n \log W
)$
字典树存储所有二进制表示
#### 测试用例
```plaintext
输入：
4
0 1 3
1 2 5
1 3 6
计算过程：
d[0]=0
(0000
), d[1]=3
(0011
)
d[2]=3^5=6
(0110
), d[3]=3^6=5
(0101
)
最大异或：
d[0]^d[2]=0^6=6
(0110
) → 最大值
输出：6
```
> 该实现基于路径异或性质[^2]和Trie树优化[^1]，可高效处理$n \leq 10^5$的数据规模。
本文介绍了一种使用01字典树解决寻找整数数组中两数最大异或值的问题。通过构建01字典树并遍历每个数，利用异或特性找到能产生最大异或结果的配对。
扫一扫
653
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
