【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-8. 图论 (Graph Theory)

• 图的表示和遍历：用于处理社交网络、推荐系统等结构化数据。

图论是研究图（Graph）结构的数学分支，在处理网络、关系和结构化数据时起着至关重要的作用。本文将从图的基本表示、遍历算法及其在实际应用中的使用展开讨论，并配以代码和可视化示例。

1. 图的基本表示

1.1 定义

图由节点（顶点）和边组成。

• 无向图：边没有方向，如 (u, v) 表示节点 u 和 v 之间的连接。
• 有向图：边有方向，如 (u, v) 表示从节点 u 到 v 的连接。

1.2 表示方法

1. 邻接矩阵：用 n × n 的矩阵表示，矩阵的元素表示节点之间是否有边。
2. 邻接表：每个节点对应一个列表，存储与该节点相连的所有节点。

   节点 1: [2, 3]
   节点 2: [1, 4]
   节点 3: [1]
   

1.3 Python 实现

import numpy as np

# 邻接矩阵
graph = np.array([
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0]
])
print("邻接矩阵:")
print(graph)

---

 

2. 图的遍历

2.1 深度优先搜索 (DFS)

DFS 按照深度优先的策略遍历节点，适用于寻找路径或检查连通性。

2.1.1 定义

深度优先搜索按照递归深入的方式访问节点，尽可能向深层的节点探索，直到无法继续，再回溯到上一层节点。

2.1.2 算法流程

1. 从起始节点出发，标记为已访问。
2. 访问其一个未访问的邻居节点。
3. 对该邻居节点重复步骤 1 和 2。
4. 如果当前节点的所有邻居都已访问，则回溯到上一个节点。
5. 重复直到所有节点访问完毕。

2.1.3 Python 实现

def dfs(graph, start, visited=None):
    if visited is None:
        visited = set()
    visited.add(start)
    print(start, end=" ")  # 输出当前节点
    
    for neighbor in graph[start]:
        if neighbor not in visited:
            dfs(graph, neighbor, visited)

# 示例图：邻接表表示
graph = {
    1: [2, 3],
    2: [4],
    3: [5],
    4: [],
    5: []
}

print("深度优先搜索结果：")
dfs(graph, 1)

深度优先搜索结果：
1 2 4 3 5 

2.1.4 应用案例

• 连通性检查：检查图是否是一个连通图。
• 路径探索：用于迷宫或网络中的路径查找。

2.1.5 可视化

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 构建图
G = nx.Graph()
edges = [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5)]
G.add_edges_from(edges)

# DFS 遍历
visited = []
def dfs_vis(graph, node):
    if node not in visited:
        visited.append(node)
        for neighbor in list(graph.neighbors(node)):
            dfs_vis(graph, neighbor)

dfs_vis(G, 1)

# 可视化
plt.figure(figs