【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-4.数值分析 (Numerical Analysis)

• 优化方法：用于寻找函数的极值（如牛顿法、随机梯度下降）。
• 插值和拟合：用于处理数据点之间的关系，生成模型。

数值分析（Numerical Analysis）是数学的一个分支，专注于开发用于数值近似的方法，以解决科学和工程问题中的复杂数学运算。它为无法用解析方法求解的问题提供了近似解，通过数值方法来保证计算结果的精确度和效率。数值分析的应用领域非常广泛，包括求解线性和非线性方程组、积分、微分方程、最优化问题、特征值计算等。

数值分析的主要内容

1. 线性代数的数值方法：如矩阵分解、迭代法、特征值问题，用于处理线性方程组和向量空间的问题。

2. 插值与逼近：研究多项式插值、样条插值及逼近方法，常用于数据拟合和曲线拟合。

3. 数值微分和积分：包括数值积分（如梯形法、辛普森法）和数值微分，用于近似求解积分和导数。

4. 常微分方程与偏微分方程的数值解：开发数值方法来求解微分方程，广泛用于物理模拟、流体动力学等领域。

5. 优化算法：包括梯度下降法、牛顿法等，用于求解极值问题。

数值分析的特点

• 误差分析：在数值分析中，误差的来源通常包括截断误差和舍入误差，研究误差传播和收敛性是数值分析的重要部分。
• 稳定性和收敛性：确保数值方法在迭代过程中逐步逼近准确解，并对计算中的不稳定性进行控制。

应用

数值分析在科学计算、工程设计、物理模拟、金融计算等领域广泛应用，是现代计算科学和工程的重要支柱。

优化方法

优化方法在数值分析中用于寻找函数的极值点，广泛应用于机器学习、工程设计和经济学等领域。常见的优化方法包括：

• 牛顿法：

        一种基于二阶导数的迭代方法，用于快速逼近函数的极值，适用于凸函数和可导函数。牛顿法利用泰勒展开来逼近目标函数的根，从而找到极值点。

        假设我们要最小化一个函数 f(x)，其迭代公式为：

        这里：

                f'(x) 是函数 f(x) 的一阶导数（梯度），表示变化方向。

                f''(x) 是函数 f(x) 的二阶导数（Hessian 矩阵在高维中），表示曲率。

        示例：假设 ，我们可以手动计算其导数并使用牛顿法来求解最小值点。

                f'(x) = 2x - 4

                f''(x) = 2

        根据牛顿法的迭代公式，有：

        即每一步迭代都会收敛到最小值点 x = 2。