【机器学习】数学知识：标准差，方差，协方差，平均数，中位数，众数

标准差、方差和协方差是统计学中重要的概念，用于描述数据的分散程度和变量之间的关系。以下是它们的定义和公式：

1. 标准差 (Standard Deviation)

标准差是方差的平方根，表示数据的分散程度，以与数据相同的单位表示。

• 公式：

  • 对于样本：
  • 对于总体：

2. 方差 (Variance)

方差是衡量一组数据与其均值之间偏差的平方的平均值。它表示数据的分散程度。

• 公式：

  • 对于样本数据：
  • 对于总体数据：
  • 其中， 是每个数据点， 是样本均值， 是总体均值，n 是样本大小，N 是总体大小。

3. 协方差 (Covariance)

协方差是衡量两个变量之间关系的度量，表示它们如何一起变化。正协方差表示两个变量同向变化，负协方差表示它们反向变化。

• 公式：

  • 对于样本数据：
  • 对于总体数据：
  • 其中，X 和 Y 是两个随机变量，​ 和 ​ 是它们的观测值， 和 ​ 是它们的均值， 和 ​ 是总体均值。

这些概念在数据分析、概率论和统计学中非常重要，能够帮助理解数据的分布和变量之间的关系。

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中位数、平均数和众数是描述数据集中趋势的三种常用统计量。各有其适用场景和统计意义，选择哪一个更具统计意义取决于数据的性质和分析目的。以下是它们的定义和计算方法及其适用情况：

4. 平均数 (Mean)

平均数是所有数据点的总和除以数据点的数量，通常被称为算术平均数。

• 公式：

         其中， 是每个数据点，n 是数据点的总数量。

• 优点：

  • 平均数利用了所有数据点的信息，能反映整体水平。
  • 在正态分布的情况下，平均数是一个非常有效的集中趋势的指标。

• 缺点：

  • 对极端值（离群值）敏感。极端大或小的值会显著影响平均数，从而使其不能准确反映数据的中心趋势。

• 适用情况：

  • 当数据分布接近正态分布且没有显著的离群值时，平均数是一个很好的集中趋势度量。

5. 中位数 (Median)

中位数是将数据按升序排列后，位于中间位置的数值。如果数据点数量为奇数，中位数是中间的数；如果为偶数，中位数是中间两个数的平均值。

• 计算方法：

  • 将数据按升序排列。
  • 如果 n 是奇数：
  • 如果 n 是偶数：

• 优点：

  • 中位数不受极端值的影响，因此在数据中存在离群值或数据分布不对称的情况下，它能更准确地反映数据的中心位置。

• 缺点：

  • 中位数不考虑所有数据点的信息，仅依赖于数据的顺序。

• 适用情况：

  • 当数据分布不对称或存在离群值时，中位数是更好的集中趋势度量。

6. 众数 (Mode)

众数是数据集中出现次数最多的数值。一个数据集可以有一个众数（单众数），多个众数（多众数），或没有众数（如果所有数出现的次数相同）。

• 计算方法：

  • 统计每个数值出现的频率，找出出现次数最多的数值。

• 优点：

  • 众数能显示最常见的数据值，适用于定性数据（分类数据）。
  • 在某些情况下，众数可以提供重要的信息，特别是在分析类别数据时。

• 缺点：

  • 数据集中可能没有众数（所有数值出现的次数相同），或有多个众数（多众数），这可能会使其统计意义不明确。

• 适用情况：

  • 当关注最常见的值或类别时，众数是一个重要的指标。

举例说明

假设有以下数据集：3, 7, 7, 2, 5, 9, 3

• 平均数：

  

• 中位数： 排序后数据集为：2, 3, 3, 5, 7, 7, 9 由于有7个数（奇数），中位数为第4个数：

  

• 众数： 7出现的次数最多（2次），因此众数为：

  

这些统计量可以帮助我们了解数据的中心位置和分布特征。