【机器学习】数学知识：对数

原创已于 2025-01-10 13:37:56 修改 · 2.6k 阅读

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#机器学习 #人工智能 #对数 #python

于 2024-11-12 09:09:03 首次发布

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对数是数学中一种重要的运算，它与指数密切相关。对数的主要功能是将乘法和除法转换为加法和减法，从而简化复杂的计算。以下是对数的基本概念、性质和应用。

1. 对数的定义

对数是指数的反运算。如果 $a^b = c$ ，那么 b 被称为以 a 为底的 c 的对数，记作：

$b = \log_a(c)$

这里：

a 是底数，a > 0 且 a≠1
c 是对数的真数，c > 0
b 是对数的值

2. 常用对数

常用的对数有两种：

自然对数：以 e（约等于 2.71828）为底的对数，记作 ln(x)。
常用对数：以 10 为底的对数，记作 log(x)。

3. 对数的性质

对数具有以下重要性质：

(1).乘法法则

公式：

$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$

推导：

假设 $\log_b x = M$ 和 $\log_b y = N$ ，则根据对数定义：

$b^M = x \quad$ 和 $b^N = y$
将两式相乘：

$b^M \cdot b^N = x \cdot y$
根据指数的性质 $b^M \cdot b^N = b^{M+N}$ ，可以写为：

$b^{M+N} = x \cdot y$
两边取以 b 为底的对数：

$\log_b (x \cdot y) = M + N$
代入 $M = \log_b x$ 和 $N = \log_b y$ ，得到：

$\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$

(2). 除法法则

公式：

$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$

推导：

假设 $\log_b x = M$ 和 $\log_b y = N$ ，则根据对数定义：

$b^M = x \quad$ 和 $\quad b^N = y$
将两式相除：

$\frac{b^M}{b^N} = \frac{x}{y}$
根据指数的性质 $\frac{b^M}{b^N} = b^{M-N}$ ，可以写为：

$b^{M-N} = \frac{x}{y}$
两边取以 b 为底的对数：

$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = M - N$
代入 $M = \log_b x$ 和 $N = \log_b y$ ，得到：

$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$

(3). 幂的法则

公式：

$\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x$

推导：

假设 $\log_b x = M$ ，则根据对数定义：

$b^M = x$
将 x 提到 y 次方：

$x^y = (b^M)^y$
根据指数的性质 $(b^M)^y = b^{M \cdot y}$ ，可以写为：

$x^y = b^{M \cdot y}$
两边取以 b 为底的对数：

$\log_b (x^y) = M \cdot y$
代入 $M = \log_b x$ ，得到：

$\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x$

(4). 换底公式

公式：

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$ (k 为新底数)

推导：

假设 $\log_b x = M$ ，则根据对数定义：

$b^M = x$
两边取以 k 为底的对数：

$\log_k (b^M) = \log_k x$
根据对数与指数的性质， $\log_k (b^M) = M \cdot \log_k b$ ，可以写为：

$M \cdot \log_k b = \log_k x$
解出 M：

$M = \frac{\log_k x}{\log_k b}$
代入 $M = \log_b x$ ，得到：

$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}$

5. 对数的特征值

公式：

$\log_b 1 = 0 \quad$ 和 $\log_b b = 1$

推导：

证明 $\log_b 1 = 0$ ：
- 根据对数定义， $\log_b 1 = x \implies b^x = 1$ 。
- 在指数性质中，任何数的 0 次幂等于 1，即 $b^0 = 1$ 。
- 因此， $\log_b 1 = 0$ 。
证明 $\log_b b = 1$ ：
- 根据对数定义， $\log_b b = x \implies b^x = b$ 。
- 显然， $x = 1$ 时成立。
- 因此， $\log_b b = 1$ 。

4. 对数的图像

对数函数的图像是定义在 x > 0 的单调递增函数，随着 x 的增大而增大，但其增长速度比线性函数慢。

对数函数的图像呈现出一个典型的弯曲形状，在数学上对数函数的常见形式为：

$y = \log_b(x)$

其中 b 是对数的底数，常见的底数包括自然对数的底 e 和常用对数的底 10。对数函数在不同底数下的表现有一些差异，但总体形状相似。

对数函数图像的性质

定义域和值域：对于 $y = \log_b(x)$ ，定义域是 x > 0，也就是说，对数函数仅在正数上定义。值域则是所有实数 $(-\infty, +\infty)$ 。
横截点：对数函数在 (1, 0) 处穿过 x 轴，即当 x = 1 时 y = 0，这是因为 $\log_b(1) = 0$ （任何底数的 1 的对数都为 0）。
单调递增性：当 b > 1 时，函数是单调递增的，即随着 x 增加，y 的值也增加，但增速越来越慢（例如 $y = \log_2(x)$ ）。相反，如果 0 < b < 1，对数函数会变成递减函数。
无界性：对数函数在正无穷趋近无穷，在接近 0 时趋向负无穷。
对称性：对数函数没有对称性，但它是幂函数的逆函数（如 $y = e^x$ 与 $y = \ln(x)$ 互为逆函数）。

常见对数函数的图像

对数函数在不同底数下的图像大致有如下形式：

自然对数函数 $y = \ln(x)$ ：底数为 e，图像呈现典型的对数形状，过点 (1, 0) 且单调递增。
常用对数函数 $y = \log_{10}(x)$ ：底数为 10，形状类似于自然对数但稍微平缓。

绘制对数图像的 Python 示例

以下代码可以用 matplotlib 库绘制对数函数的图像：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义 x 范围
# numpy.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None, axis=0)
x = np.linspace(0.01, 10, 400)

# 计算对数函数值
y_ln = np.log(x)         # 自然对数
y_log10 = np.log10(x)     # 常用对数
y_log2 = np.log2(x)       # 底数为2的对数

# 绘制图像
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y_ln, label=r"$y = \ln(x)$", color="blue")
plt.plot(x, y_log10, label=r"$y = \log_{10}(x)$", color="green")
plt.plot(x, y_log2, label=r"$y = \log_{2}(x)$", color="red")

# 添加图例和标签
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("对数函数的图像")
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(1, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.show()