线段树详解：数据结构与高效区间操作-优快云博客

线段树是一种树形的高级数据结构，因为noip不考这种数据结构，而且当时的代码实现能力比较差，编程水平比较低，所以高中的时候粗略的看了看，并没有真正的搞懂，虽然早已弃了算法竞赛的坑，但还是回过头去研究了一下这种高级数据结构并写下此教程，以纪念曾经奋斗在OI道路上的日子。

问题提出：

现有如下的问题，给定一个的序列，实现以下操作：

①更新序列的某个值。

②查询序列的某个区间的最小值(最大值、区间和)线段树常用于解决区间统计问题。求最值，区间和等操作均可使用该数据结构，本篇以求最小值为例。

③更新序列的某个区间内的所有值。

对于求最小值，我们很容易想到的算法就是。更新序列的某个值直接找到该值，更新，时间复杂度是O(1)；区间查询直接遍历该区间，时间复杂度是O(n)；区间修改的也是直接遍历该区间修改，时间复杂度是O(n)，在数据量特别大，操作比较多的时候，效率是很低的。另一种解法是这样的。构建一个二维数组，a[i][j]表示区间[i,j]的最小值。这样查询操作的复杂度为O(1)，但是这样的话，修改的复杂度也不低而且如果数据量特别大，O(n^2)的空间复杂度也是不容忽视的。这时候就需要我们是用线段树这种优秀的高级数据结构来解决了。

线段树：

我们以序列{5,9,7,4,6,1}为例子演示。这个序列构成的线段树是这样的。

从这颗树上我们可以了解线段树的这几个特点，线段树是一颗近似的完全二叉树，每个节点代表一个区间，节点的权值是该区间的最小值。根节点是整个区间。每个节点的左孩子是该节点所代表的的区间的左半部分，右孩子是右半部分。为方便起见，如果区间长度为奇数，则左孩子为较长的半部分。通过线段树，我们可以用O(logn)的时间复杂度完成查询和更新操作。当然，预处理的时间复杂度是O(n)。

线段树的构建：

我们将每一个节点封装到Node类中。

class Node//节点
{
    int start;//区间的左端点
    int end;//区间的右端点
    int data;//该节点的值
    int mark = 0;//延迟更新的标记
    public Node(int start,int end)//构造方法中传入左端点和右端点
    {
        this.start = start;
        this.end = end;
    }
    void addMark(int value)//做标记
    {
        this.mark+=value;
    }
    void clearMark()
    {
        this.mark = 0;
    }
    public String toString()
    {
        return start+"-"+end;
    }
}

这个节点类有四个域，分别是区间左端点，区间右端点，节点的权值，延迟更新的标记（暂时用不到）构造方法中传入左右端点。构建线段树的时候，我们可以从根开始构建，我们注意到，这颗线段树的叶子节点区间中的元素只有一个，代表着序列的元素，所以n个元素的序列构成的线段树中的叶子节点有n个。这颗线段树虽然不是完全二叉树，但是可以通过移动变成一颗完全二叉树。n个叶子节点的完全二叉树的非叶子结点个数为n-1所以n个元素的序列构成的线段树的节点有2n-1个。这2n-1个只是有效的节点，因为我们用数组存储，所以需要给这颗近似的完全二叉树添加一些虚节点，让其变成一颗真正的完全二叉树。对于n个元素的序列构成的线段树，2x-1（x是大于等于n的