数据结构与算法---动态规划---礼物的最大价值、买卖股票的最佳时期

礼物的最大价值

47. 礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:
输入:

[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]

输出: 12

解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：
0 < grid.length <= 200
0 < grid[0].length <= 200

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思路

暴力法
贪心法
回溯法
动态规划

DP

使用DP，就是几个步骤：
是不是最值问题、能不能使用DP（原问题能否分解为子问题、有无后效性）、使用DP的步骤（确定dp含义、确定边界值、状态转移方程）

是不是最值问题？

是

能否使用DP

1. 原问题能否分解为子问题
   由于只能向下或者向右，对于dp[i][j]可以由dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]取比较大的再加上自身价值确定
2. 有无后效性
   无

DP步骤

1. 确定dp含义
   dp[i][j] 表示，第i行，第j列的最大价值

2. 确定边界值
   dp[0][0] = valuesArray[0][0]
   dp[0][j] = dp[0][j - 1] + valuesArray[0][j];
   dp[i][0] = dp[i - 1][0] + valuesArray[i][0];

3. 确定转移方程
   dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + valuesArray[i][j];

了解以上，不难写出代码：

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        if(grid == null) return 0;
        
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;

        int[][] dp = new int[row][col];
        dp[0][0] = grid[0][0];

        for(int j = 1; j < col; j++){
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }

        for(int i = 1; i < row; i++){
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }

        for(int j = 1; j < col; j++){
            for(int i = 1; i < row; i++){
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[row - 1][col - 1];
    }
}

注意二维数组的行列
两层for循环，row和col谁在外都可以

拓展题

将dp[][]二维数组，优化为dp[]一维数组

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买卖股票的最佳时期

121. 买卖股票的最佳时期

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意：你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

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思路

第一眼看到题目还以为是数学模型，可以预测下股票的买卖时机，正好自己学习下。
不曾想，这道题是事后诸葛亮，对炒股没一点用。我要是提前知道哪天最高价，那我不发了。。。。。。

最大利润，就是在低点买，在高点卖。并且，低点时机在高点时机前

暴力法

求出所有的利润，两个for循环搞定

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //至少两个值
        if(prices == null || prices.length == 0 || prices.length == 1) return 0;
        int max = 0;
        for(int i = 0; i<prices.length; i++){
            for(int j = i + 1; j<prices.length; j++){
                max = Math.max(prices[j] - prices[i], max);
            }
        }
        return max;
    }
}

贪心

倒推一下，不先考虑在哪一天买，考虑在哪一天卖
假如在dp[i]卖，那么，需要在[0, i)里面，选择一个最小值，这样dp[i]的价值最大

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //至少两个值
        if(prices == null || prices.length == 0 || prices.length == 1) return 0;
        //前面扫描过的最小价格
        int minPrice = prices[0];
        int maxValue = 0;
        for(int i = 1; i<prices.length; i++){
            minPrice = Math.min(prices[i], minPrice);
            if(prices[i] > minPrice){
                maxValue = Math.max(prices[i] - minPrice, maxValue);
            }
        }
        return maxValue;
    }
}

算动态规划吗？
好像，不算，没有状态转移方程

DP

第i天买，第j天卖的利润等于：
第i-j天内，所有相邻两天股价差的和
例如：

0 1 2 3 4 5
7 1 5 3 6 4

第1天到第4天的利润等于：
第4天价格-第3天价格 = 6 - 3 = 3
第3天价格-第2天价格 = 3 - 5 = -2
第2天价格-第1天价格 = 5 - 1 = 4

加起来，和为：5，因此，第4天卖、第1天买的利润为5

最后，题目被转化为求最大子数组和 或者 最大连续子序列和的问题