线性筛素数

最新推荐文章于 2025-05-10 18:09:08 发布

Betrayer_of_love

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文章标签：算法

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太久没有写题解了，直接上素材！！！

思路

首先，我们需要理解什么是素数。素数是一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。

接下来，我们要解决的问题是：给定一个范围n，对于q个询问，我们要输出第k小的素数。

要解决这个问题，我们可以使用欧拉筛法（Euler’s Sieve）来预先找出所有小于等于n的素数。

欧拉筛法的主要思路是：

初始化一个布尔数组f，其中f[i]表示数字i是否为素数。默认所有数字都是素数，所以f[i]初始化为false。但是我们知道0和1不是素数，所以特别设置f[0]和f[1]为true。
从2开始遍历到n，对于每个数字i：
如果f[i]为false，则i是素数，我们将其加入到素数数组prime中。
对于prime数组中的每个素数prime[j]，我们将iprime[j]标记为非素数（即设置f[iprime[j]]为true）。但是，如果i能被prime[j]整除，那么iprime[j+1], iprime[j+2], …等数都已经被更大的素数prime[j]筛过了，所以我们可以停止内层循环。
通过上述步骤，我们就得到了一个包含所有小于等于n的素数的数组prime。

接下来，对于每个询问，我们只需要输出prime[k]即可，因为prime数组中的元素是按从小到大的顺序排列的。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
bool f[100000010]; // 标记数组，f[i]为true表示i不是素数，为false表示i是素数  
int prime[6000010],tot=0; // prime数组用于存储素数，tot记录素数的数量  
// 欧拉筛法  
void Euler(int n){  
    tot=0; // 初始化素数数量为0  
    f[0]=f[1]=1; // 0和1不是素数  
    for(int i=2; i<=n; i++){ // 从2开始遍历到n  
        if(!f[i]){ // 如果i是素数  
            prime[++tot]=i; // 将i加入到素数数组中  
        }  
        for(int j=1; j<=tot&&1ll*i*prime[j]<=n; j++){ // 遍历prime数组中的素数  
            f[i*prime[j]]=1; // 标记i*prime[j]为非素数  
            if(i%prime[j]==0)break; // 如果i能被prime[j]整除，停止内层循环  
        }  
    }  
}  
int main(){  
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0); // 加速输入输出  
    int n,q,k;  
    cin>>n>>q; // 读入范围n和询问数量q  
    Euler(n); // 使用欧拉筛法找出小于等于n的所有素数  
    while(q--){ // 处理每个询问  
        cin>>k; // 读入要查询的k  
        cout<<prime[k]<<"\n"; // 输出第k小的素数  
    }  
    return 0;  
}