lightoj1245Harmonic Number (II)

IDrandom

于 2016-05-17 01:13:16 发布

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分类专栏： # 数论-数学杂题 lightoj 文章标签： lightoj 数学

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本文介绍了一种求解floor(n/1)+...+floor(n/n)的高效算法，通过将序列分为两部分并利用sqrt(n)进行优化，实现了快速计算。文章提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1245
求floor(n/1)+floor(n/2)+…+floor(n/n)
首先令s=floor(sqrt(n))
原式=floor(n/1)+…+floor(n/s)+floor(n/(s+1))+…+floor(n/n)
接下来，设p=floor(n/a),p+1=floor(n/a1),p-1=floor(a/a2);
a<=n/p
a1<=n/(p+1)
a2<=n/(p-1)
a2+1< a < a1+1
所以p=floor(n/a),p+1=floor(n/a1)在n/(p+1)< a< n/p成立
因为a为整数
所以有floor(n/(p+1))< a<=floor(n/p)成立
所以满足p=floor(n/a)的a值共有floor(n/p)-floor(n/(p+1))个
因为(s-1)(s+1)=s*s-1< n
则满足floor(n/i)<=s的区间
当floor(n/s)==s时为[s,n]
当floor(n/s)!=s时为[s+1,n]
所以暴力sqrtn统计即可

#include <stdio.h>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(void)
{
    int t,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        LL n,ans=0;
        scanf("%lld",&n);
        LL p=sqrt(n);
        for(int i=1;i<=p;i++){
            ans+=n/i;
        }
        for(int i=1;i<=p;i++){
            ans+=(n/i-n/(i+1))*i;
        }
        if(n/p==p)ans-=n/p;
        printf("Case %d: %lld\n",++cas,ans);
    }
    return 0;
}