Perfect Squares

最新推荐文章于 2022-04-05 08:49:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-04-05 08:49:00 发布 · 492 阅读

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本文探讨了如何找出正整数n可以表示成最少几个完全平方数之和的问题，并给出了解决方案。利用四平方和定理及三平方和定理，通过分析不同情况来确定最小完全平方数的数量。

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Description
Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n. For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.
解题思路：这道题可以用数学的方法来解决。首先我们要知道两个定理：第一，四平方和定理，每个正整数均可表示为4个整数的平方和；第二，三平方和定理，一个自然数能表示为三个数的平方和当且仅当它不能表示为4^k * （8 * m + 7），对于某个整数k和m。第二个定理启发我们当一个数能表示为4^k * （8 * m + 7），对于某个整数k和m成立时，它就能表示为4个数的平方和。因此，我们就知道了，一个数最多表示为4个数的平方和，所以只要分4种情况讨论即可。程序代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        int i = sqrt(n);
        if (i * i == n) 
            return 1;

        for (int j = 0; j * j <= n; j++) {
            int l = sqrt(n - j * j);
            if (l * l + j * j == n)
                return 2;
        }

        int k = 0;
        while (true) {         //n是否等于4^k*（8*m+7）
            int a = pow(4, k);
            if (a > n)
                break;
            if (n % a == 0) {
                if ((n / a - 7) % 8 == 0 )
                    return 4;
            }
            k++;
        }
        return 3;
    }
};