回溯之符号三角形问题

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本文介绍了一种基于回溯算法解决符号三角形问题的方法，该问题要求构造一个由等数量的“+”和“-”符号组成的特殊三角形结构，并提供了一个C++实现示例。

符号三角形问题

下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。

在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

•解向量：用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行。

•可行性约束函数：当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4

•无解的判断：n*(n+1)/2为奇数

代码实现:

//符号三角形问题
#include <iostream>

using namespace std;
static const char ch[2] = {'+','-'};
class Triangle
{
    friend int Compute(int);
    private:
        void Backtrack(int t);
        int n,              //第一行的符号个数
            half,           //n*(n+1)/4
            count,          //当前"+"号个数
            **p;            //符号三角形矩阵
        long sum;           //已找到的符号三角形数
};

void Output(int n,int **p)      //输出符号三角形
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j < i; j++)
        {
            cout<<" ";
        }

        for(int j = 1; j <= n-i+1; j++)
        {
            cout<<ch[p[i][j]]<<" ";
        }

        cout<<endl;
    }
}

void Triangle::Backtrack(int t)
{
    if((count > half) || (t*(t-1)/2 - count > half))
    {
        return ;
    }
    if(t > n)
    {
        sum++;
        static int temp = 0;
        cout<<"第"<<++temp<<"个符号三角形"<<endl;
        Output(n,p);
    } else {
        for(int i = 0; i < 2; i++)
        {
            p[1][t] = i;
            count += i;
            for(int j = 2; j <= t; j++)
            {
                p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
                count += p[j][t-j+1];
            }
            Backtrack(t+1);
            for(int j = 2; j <= t; j++)
            {
                count -= p[j][t-j+1];
            }
            count -= i;
        }
    }
}

int Compute(int n)
{
    Triangle X;
    X.n = n;
    X.count = 0;
    X.sum = 0;
    X.half = n*(n+1)/2;
    if(X.half % 2 == 1)
    {
        return 0;
    }
    X.half = X.half/2;
    int **p = new int *[n+1];
    for(int i = 0; i <= n; i++){
        p[i] = new int[n+1];
    }

    for(int i = 0; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= n; j++){
            p[i][j] = 0;
        }
    }
    X.p = p;
    X.Backtrack(1);
    return X.sum;
}

int main()
{
    int n,m;
    cout<<"请输入第一行符号个数n,[n*(n+1)]整除4:"<<endl;
    cin>>n;
    m = Compute(n);
    cout<<"这样的符号三角形有"<<m<<"个"<<endl;
    return 0;
}