动态规划总结（二）

状态转移方程分类

对于动态规划类题目，当我们完成数据建模的之后，需要列出状态转移方程（事实上这两个步骤是相互关联的），通过总结leetcode上动态规划类题目的解法，一般来说状态转移方程分为以下两个大类：

• 找到当前状态与之前某个状态之间的关系，通过之前状态的值求解当前状态的值
• 找到当前状态与一些子状态之间的关联，通过遍历这些子状态求解当前状态的值

以上这两种情况在某些题目中可以相互转换的， 有些时候并不能直接找到历史某个状态与当前状态的关系，但可以遍历所有历史状态求解；有些题目很直观地看到是与所有历史的状态有关联，但通过对状态转移方程的化简，可以得到的推导式只与某个历史的状态相关。

状态转移方程实例

• 遍历子状态，求解当前状态的解的例题
  
  • Strange Printer
  • K inverse pair Array
  • Remove Boxes

//思路：Strange Printer
//模型：dp[i][j]表示s.substr(i,j+1-i)需要多少次操作
//状态转移方程： dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] - s[j] == s[k]) k = i...j-1
//              当s[j] == s[j]的时候可以少进行一次操作
    int strangePrinter(string s) {
        if(s.empty() ) return 0;

        int n = s.size();

        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, n));
        for(int i = 0; i < n; i++) dp[i][i] = 1;

        for(int len = 1; len < n; len++) {
            for(int i = 0, j = i + len; j < n; i++,j++) {
                dp[i][j] = j + 1 - i;
                //遍历子状态去求解当前状态
                for(int k =  i + 1; k <= j; k++) {
                    int tmp = dp[i][k-1] + dp[k][j];
                    if (s[k-1] == s[j]) tmp--;
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], tmp);
                }
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }

• 由一个子状态能得到当前状态的例题
  
  • Palindromic Substrings
  • Decode ways II
  • Shopping offers
  • Non-negative Integers without Consecutive Ones
  • -

//思路：Palindromic Substrings
//模型：dp[i][j]表示s.substr(i, j+1-i)是否是回文串
//状态转移方程：dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && s[i] == s[j] （注意边界条件）
//据说还有Manchester算法，可以将算法复杂度减少至O(n)
    int countSubstrings(string s) {
        if(s.empty()) return 0;
        int size = s.size();
        int res = 0;
        vector<vector<bool>> dp(size, vector<bool>(size, false));

        for(int i = 0; i < size; i++) dp[i][i] = true;

        for(int len = 1; len < size; len++) {
            for(int i = 0, j = i+len; j < size; ++i, ++j) {
                //当前状态只与dp[i+1][j-1]有关
                dp[i][j] = s[i]==s[j] && (i+1 >= j -1 || dp[i+1][j-1]);
                res += dp[i][j];

            }
        }

        return res + size;
    }

处理边界条件或者遍历的一些技巧

• 对于用于动态规划的记忆数组/矩阵，可以适当增加一些边界状况下的值，这样不用单独挑出来考虑；
• 遍历的方向dp[i][j]
  
  • 正常的方向：从左到右 j =0, 1,...n-1，从上到下 i = 0, 1 ... m-1；
  • 可以考虑从右到左，从下到上遍历；排序矩阵查找目标值
  • 也可以从j - i = 1, 2 ... m进行循环 Palindromic Substrings
• 背包类问题
  
  • 针对物品是否能重复利用，dp[i][j]关于价值的j的递归方向是不一样的。

写在最后

这里总结了一些动态规划类题目常用的解法，然后希望通过参考这些解法，让我们在面临新的动态规划类的题目，有一些着角点进行尝试建模； 这是治标不治本的方式，不太符合学习规律；但这也是无奈之举，希望能帮助自己在较短的时间可以尝试做一些动态规划类的题目，以面对校招笔试面试中的各种面试题吧。