858. Prim算法求最小生成树

题目

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6

思路：

1、邻居矩阵存储稠密无向图，初始化为点与点之间的距离为无穷大
2、dist[N]数组存储点i到最小生成树集合的最短距离，初始化为无穷大
3、迭代n次，遍历dist[]数组每次查找距离最小生成树距离最小的点
4、特判，如果不是第一次迭代，并且查找到的点距离最小生成树集合距离为无穷大，则说明该点与生成树不连通，return
5、如果不是第一次迭代，则把查找到的点添加到最小生成树集合中，并且累加该点到最小生成树的最短距离
6、遍历不在最小生成树集合当中，并且与查找到的点相邻的点，更新相邻点到最小生成树集合的最短距离

代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 510, M = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];//邻接矩阵   g[a][b]存储点a->点b的边权
int dist[N];//存储当前点i到生成树集合的最短距离
bool st[N];//标记当前点是否在最小生成树集合中
int n, m;

int prim(){
    // 初始化每个点到生成树集合的最短距离为无穷大
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    int res = 0;//最小生成树的权值和
    
    // 迭代n次，每次把一个点添加到最小生成树集合中
    for(int i = 0; i < n; i++){
        // 查找不在生成树集合中的距离集合最近的一个点
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) 
                t = j;
                
        // 特判，如果不是第一次迭代并且查找出来的点距离集合的最短距离为无穷大，则说明该点不连通
        if(i && dist[t] == INF) return INF;
        // 注意该行顺序不能放到下面，如果不是第一次迭代，则累加当前添加到生成树的点到生成树集合的距离，即生成树的权值和
        if(i) res += dist[t];
        st[t] = true;
        
        // 添加完点t后，更新t的相邻点到最小生成树集合的最短距离
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(!st[j]) 
                dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    // 初始化点-点之间的距离为无穷大
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while(m --){
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);//取重边的较小值，无向图
    }
    
    int t = prim();
    
    if(t == INF) puts("impossible");
    else cout << t << endl;
    
    return 0;
}