Textbook Ex.8.22

a) 显然 FAS 是可在多项式时间内验证的，因此属于NP。

b) 设G 的一个大小为b 的顶点覆盖为C ，对于任意顶点v i  ∈C ，设其在G'中相对
应的顶点为w i   和w i '     ，则将边( w i  , w i ') 添加到E '。对C中的每个顶点都这样处
理后，所得到的边集E '即是G'的一个大小为b 的最小反馈弧集 。因为对于顶
点wi 和wi'，当去掉边(  w i ,   w i  ') 后，所有与wi 相连的边都不可能位于任何一个
环中，因为w i   不存在出边，同样，所有与w 'i'   相连的边也不可能位于任何一个

环中，因为wi'  不存在入边。

c) 对于G 中的任意一条边(vi ,vi') ，设其在G'中相对应的顶点为wi 、wi‘ 、wj 、
wj' ，相对应的边为(wi ,wi') 、(wj ,wj') 、(wi' ,wj)、(w' ,wi) 。若E '是G'的
一个大小为b 的 feedback arc set，显然，在这四条边中至少有一条边e属于E '，
否则就会形成环，而边e必然有个端点属于{wj ,wj} 。若wi 是e 的端点，则将vi
加入到C ，否则将vj 加入到C 。容易看出，在经过上述处理后，C 即是G 的一
个大小不超过b 的顶点覆盖。