【数据结构】复杂度

一.复杂度的概念

简而言之就是用来衡量一个程序/算法的好坏，因为算法在编写成可执行程序后需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度与空间复杂度。

随着计算机硬件的不断更新迭代，目前主要关注的是时间复杂度。时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎，如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二.时间复杂度

1.定义：算法的时间复杂度是一个函数式T(N)，定量描述了算法的运行时间，时间复杂度是衡量程序的时间效率，但我们不能用程序的运行时间来作为算法的时间复杂度。原因有三：

a.程序的运行时间与机器的编译环境和运行机器的配置都有关系；

b.同一个算法程序，用一个老配置机器和高配置机器运行，运行时间也不同；

c.时间只能程序写好后测试，不能在写程序前通过理论计算估计。

我们选用了语句的执行次数来作为算法时间复杂度的衡量，这样既脱离了编译环境的影响，并且执行次数和运行时间就是呈正相关，即执行次数就就可以代表程序时间效率的优劣。

 示例1：

在图上所示的程序中 ，第一个for循环外层执行N次，其中的内层的语句执行N次，即N^2次，第二个for循环执行2*N次，while循环执行十次，所以此程序一共执行了N^2+2*N+10次，时间复杂度函数表达式表示为T(N）=N^2+2*N+10。

但当N的数值很大时，由高数的部分知识可以知道，2*N与常数项10的影响很小，呈线性，而N^2的影响占很大部分，由此我们可有了时间复杂度的大O渐进表示法。

2.大O的渐进表示法

推导大O阶规则：

a.时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变大时，低阶想对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。

b.如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项的常数系数，因为当N不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。

c.T(N)中如果没有N相关的项目，只有常数项，用常数1取代所有加法常数。

以下再举出几个时间复杂度的例题：

示例2.

第一个for循环中执行了M次，第二个for循环中执行了N次，所以用时间复杂度的函数表达式表示为T(N)=M+N，用大O的渐进表示法为O(M+N)。O(N)和O(M)都是错误的。N和M都是变量。

但若已经给出条件M>>N，则为O(M),反之为O(N)。

示例3.

for循环中执行了100次，T(N)=100，O(1)，这里的1表示的是常数，并不是次数。 

示例4.

 

这里T(N)取决于字符串的长度及查找的位置。如果查找的字符在前半段，则T(N)=1，O(1)，如果在后半段甚至在字符串外，则T(N)=N，O(N)。所以最好的情况为O(1),最坏的情况为O(N)，平均情况为O(N)。

通过示例4可以发现，有些算法的时间复杂度存在最好，平均和最坏情况。

最坏情况：任意上输入规模的最大运行次数（上界）

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

大O的渐进表示法在实际中一般情况下关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

示例5. 

 首先此排序是升序排序，exchange是为了避免数组本身就是有序的，先在第一层循环中定义exchange=0，若数组有序，则进入第二层循环，遍历所有数之后未发生交换不会执行第二层for循环中的if语句，exchange仍等于1，直接走到if语句跳出外层循环，则此时第二层for循环中的语句执行了N次，T(N)=N，时间复杂度表示为O(N)。

若数组无序时，则不会跳出外层循环，当外层循环执行第一次时，内层循环执行n-1次；执行第二次时，end减了一，则内层循环执行了n-2次，如此执行下去，外层循环共执行n次，内层循环执行了(n-1)+(n-2)+...+3+2+1次，由等差数列的求和公式易知，一共是二分之一乘n平方减n。根据大O的渐进表示法，时间复杂度表示为O(N^2)。

 示例6.

前置条件为cnt=1，进入while条件循环后，每次以二倍递增，设x次可跳出循环，令2^x=n，则x=log以2为底的n，在这里当n为无穷大时，底数对结果的影响并不大，所以可以简写为log n。即次语句执行log n次。若在此设n=10，则当x=4时跳出循环。在此log n为常数，所以T(N)=log n，时间复杂度表示为O(logn)。 

示例7. 

 到N=0之前，一直会执行N次return Fac(N-1)*N，或者是每次执行一次return Fac(N-1)*N，每次的复杂度是O(1)，直到N=0时，一共执行了N次，N个O(1)相加，最终复杂度为O(N)。

递归的时间复杂度=单次递归时间复杂度*递归次数

三.空间复杂度​​​

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法再运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。空间复杂度不是程序占用了多少byte的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本根时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。

以下再给出几个空间复杂度的例题。

示例8.

 只需要计算额外申请的空间，图上所画三处，则T(N)=3，用大O的渐进表示法表示时间复杂度为O(1)。

示例9. 

         

此处需要递归N次，创建N个函数栈帧，所以T(N)=N，则时间复杂度为O(N) 。

下面举出各个时间复杂度的曲线图供参考： 

时间复杂度越高时间越长，尽量避免时间复杂度过高，最好控制在一次。