菜鸡HP的被虐日常（6）当扩大n倍以后……②

$ByHolyPush$

愚蠢的$HP$：$i?$是坐标系里在$x$轴方向上的单位向量吗？
聪明的$txl$：当然不是，我们这里提到的$i$是一种特殊的数。我们人为规定$i^2=-1。$当然你现在只需要知道它的定义即可。
愚蠢的$HP$：不不不，你在讲它在三角里的用法之前，至少要让我知道它自己是怎么用的吧？建议先把$i$的用法全部讲一遍，不然要在你脸上嘬一口惹。
聪明的$txl($害怕，仔细一想貌似又有点道理$):$那好吧。那我讲一讲$i$的基本运算。再深的也不研究了。

$i,$虚数单位。因为在实数域中不存在负数的平方根，所以我们扩充了数系。我们认为规定$i^2=-1$。当然，同实数一样，$-1$的平方根有两个，即$\pm i$。

愚蠢的$HP$：$-1$的平方根？这看起来还珍素蓝理解惹。先不管了，实数域用$R$表示，那么虚数用什么表示厚？
聪明的$txl$：我们貌似没有对虚数直接规定一个字母……但是一个虚数和一个实数相加后，构成的数我们叫做复数，它用字母$C$来表示。简单来说，形如$a+bi$的数叫做复数。其中，$a$是这个复数的实部，$b$是这个复数的虚部。由于没有规定$a,b\ne 0$，所以，纯虚数和实数也属于复数。一个复数一般用字母$z$来表示。还有一个概念叫做共轭复数，简单地说就是将虚部的符号反一下，用$\bar{z}$表示。例如，$z=3+4i$，它的共轭复数就是$3-4i$。另外还有一个模长的概念。复数$z=a+bi$的模长$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar{z}}$。基本概念就到这里了，接下来我们看看运算吧。

首先是复数的四则运算。我们先规定$z_1=a+bi,z_2=c+di$。
复数的加法，很简单，满足交换律。$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
减法同理，$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
乘法，它满足分配律。$z_1{z}_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
除法，我们要像化简根式一样利用平方差公式分母有理化。$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
愚蠢的$HP$：$???$这太快了吧。
聪明的$txl$：就只是单纯的乘法分配律罢了。需要注意的是$i^2=-1$这个概念不能忘记。
愚蠢的$HP$：惹。

聪明的$txl$：你有没有发现什么可以联想的地方？
愚蠢的$HP$：？没有惹。
聪明的$txl$：你难道不觉得这加减法很像是向量的加减法运算吗？
愚蠢的$HP$：好像是有那么一点回事厚。
聪明的$txl$：于是我们可以建立一个复平面，以$x$轴为实数轴，$y$轴为虚数轴。那么任何一个复数$a+bi$都能与平面内的一个点一一对应。而在复平面内，复数相加同样满足平行四边形法则。

（由于几何画板没有复平面所以只好拿这个来凑数了，当然在复平面中纵轴的一个单位为$i$）
由图可知，$(3+2i)+(1+5i)=(4+7i)$

聪明的$txl$：暂时先不讨论它在复平面里面的用处，要不你先试一试用一下复数？随便来一题，求$x^2+2x+2=0$在复数域内的解。
愚蠢的$HP:(x+1{)}^2=-1,\therefore x+1=\pm i,\therefore x=-1\pm i$。当然还可以选择使用求根公式。$x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\ast 2}}{2}=-1\pm i$。
聪明的$txl$：看看韦达定理，它成立吗？
愚蠢的$HP$：貌似是成立的！也就是说，以前老师讲的都是$\Delta <0$的时候不能用韦达定理，但是实际上在复数域内韦达定理依然是成立的！高兴坏了厚。
聪明的$txl$：那我们来继续看一看复数的用法吧。这次我们转移阵地，放到“极坐标系”里去看看。

极坐标是什么？可以吃吗？

聪明的$txl$：平面直角坐标系，我们使用横纵坐标来确定点的位置。在极坐标系里，我们依然用两个量确定点的位置。它们分别是，到原点的距离$r$和辐角$\theta$（和单位圆中的概念类似），记作$(r,\theta )$。

图中这个点距离原点的距离为$r=2$，辐角为$\frac{5\pi }{12}+2k\pi (k\in Z)$。当然你直接写$\theta =75°$其实也没多大问题。所以在极坐标系中，这个点的坐标为$(2,\frac{5\pi }{12})$（就不写$2k\pi$了，但是因为有这个东西的存在，所以一个坐标可以确定一个点，但一个点不能确定一个坐标，它们不是一一对应的关系）。
关于极坐标转直角坐标，这就很简单了。极坐标里$(r,\theta )$对应到平面直角坐标系里就是$(rcos\theta ,rsin\theta )$。反过来，直角坐标系转极坐标，只要相应地求出模长以及角度就可以了。

愚蠢的$HP$：看起来和单位圆好像！但这有什么用呢？
聪明的$txl$：用处就是你会惊奇地发现复数乘法方便了很多！
愚蠢的$HP$：极坐标和复数又扯上什么关系了？莫非他们祖宗$13$代是一家的？
聪明的$txl$：一家不敢说。极坐标是牛顿发明的，而复数准确来说很早就存在，但没有人承认。著名数学家卡尔达诺在研究三次方程的根的问题时提出了$(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=40$。而首次指出虚数这个概念的人则是笛卡尔。你可能会问为什么每次都是牛顿和笛卡尔，因为他们像你一样巨呗。至于卡尔达诺，他提出了“卡尔达诺公式”或称“卡丹公式”（其实思路是从塔尔塔利亚那里抢来的，但先于他发表），给出了形如$x^3+px+q=0$的一元三次方程的通解，其他的三次方程都可以化为这种形式。在运算过程中就有可能会出现复数。呸呸呸扯远了。如果说极坐标里的$r$表示复数的模长，那么它对应到复平面里的点就是$(rcos\theta ,rsin\theta )$，写成复数就是$rcos\theta +irsin\theta 。$你把两个复数相乘，看看会发生什么？

设两个复数的极坐标为$(r_1,{\theta }_1),(r_2,{\theta }_2)，z_1=r_{1}cos{\theta }_1+i{r}_{1}sin{\theta }_1,z_2=r_{2}cos{\theta }_2+i{r}_{2}sin{\theta }_2$。相乘可得$r_1{r}_2(cos{\theta }_{1}cos{\theta }_2-sin{\theta }_{1}sin{\theta }_2)+i{r}_1{r}_2(sin{\theta }_{1}cos{\theta }_2+cos{\theta }_{1}sin{\theta }_2)=r_1{r}_{2}cos({\theta }_1+{\theta }_2)+i{r}_1{r}_{2}sin({\theta }_1+{\theta }_2)$。写成极坐标就是$(r_1{r}_2,{\theta }_1+{\theta }_2)\dots \dots$好像发现了什么不得了的事情？

聪明的$txl:$没错，复数如果被表示成极坐标的形式，那么它们的乘积可以用“模长相乘，辐角相加”来表示。那现在来给你一道题。

已知平面直角坐标系里一点$A(3,4)$，将其绕原点逆时针旋转45°得到点$B$，求$B$的坐标。你能想到多少种做法？

$HP:$这种题目我初中最会做了。作垂线构造基本图形。

设$C(x,y)$，由全等三角形可知$3-x=y①,4-y=-x②$，由$①②$得$x=-\frac{1}{2},y=\frac{7}{2}$。由于$B$在$OC$延长线上且模长为5，可以算出$B(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{7\sqrt{2}}{2})$。

聪明的$txl:$不错，但是用高中知识也是非常好的。
你可以选择使用三角函数的和角公式算出直线$BC$的斜率，令$\overrightarrow{OA}$与$x$轴正半轴夹角为$\alpha$，可得$tan\alpha =\frac{4}{3}$，$\therefore tan(45°+\alpha )=\frac{1+tan\alpha }{1-tan\alpha }=-7$。然后$B$点在直线$y=-7x$上运动且在$x$轴上方，就可以求出来了。

而且我们可以选择向量。我们可以设$\overrightarrow{OB}=(x,y)$。由数量积的两种运算方式可以得到$3x+4y=5^{2}cos45°$，由向量积（别名叉积、外积）的两种运算方式可以得到$3y-4x=5^{2}sin45°$，解一元一次方程同样可以得到$B$点的坐标。

但是，为什么不选择复数呢？
愚蠢的$HP$：怎么使用复数？复数还有这种功能厚，那可真素棒棒。
聪明的$txl$：在处理旋转问题上复数一直很在行。我们刚刚不说了吗？复数在极坐标中的运算是“模长相乘，辐角相加”。辐角相加这句话，不就暗示你了吗？我们只需要把直角平面看成是复平面，配一个复数上去就可以了。
愚蠢的$HP$：那该怎么选择这个复数厚，老娘，呸，老爹怎么知道惹。
聪明的$txl$：模长既然相乘，但我们知道旋转后的长度是不变的，所以复数的模长为$1$，旋转了$45°$，所以辐角为$45°$，极坐标为$(1,\frac{\pi }{4}),$转换成复数就是$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$。所以如果说把$A$看作复数$3+4i$，那么$(3+4i)(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{2}i$就是$B$点所表示的复数，所以恢复到平面直角坐标系中，$B$的坐标就是$(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{7\sqrt{2}}{2})$。
愚蠢的$HP$：天啦噜！尿布可研！那乘上一个$i$，是不是就是旋转$90°$的意思？
聪明的$txl$：唷，会举一反三了嘛。而且，你说的这句话你必须牢牢记住，因为在后面证明的时候我会用到这条性质。但是，还有更妙的。你知道怎么求$x^n=1$的所有根吗？
愚蠢的$HP:\dots \dots$不知道惹。

依然是运用模长相乘，辐角相加！
既然$x$自乘$n$次的模长为$1$，那么说明$x$的模长也为$1$。$x$自乘$n$次后得到的结果为$1$，放在复平面里就是辐角为$2k\pi (k\in Z)$，所以如果$x$的辐角为$\theta$，则有$n\theta =2k\pi ，即$$\theta =\frac{2k\pi }{n}$。两方面综合下来，结果就是单位圆上从$(1,0)$开始的$n$等分点所对应的复数！

愚蠢的$HP$：我不信，我要检验。$n=2$的时候，单位圆从$(1,0)$开始二等分得到的点为$(1,0)(-1,0)$，对应的根为$\pm 1$，还真是两个根。$n=3$的时候，分到的结果是$(1,0),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，第二个点对应的根为$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，三次方后的结果是$\dots \dots 1？$另一个貌似也是对的$\dots \dots$太神奇了吧！
聪明的$txl$：你甚至可以试试求$\sqrt[3]{4\sqrt{3}+4i}$的结果。
愚蠢的$HP$：我试试。

$z=4\sqrt{3}+4i$化作极坐标为$(8,\frac{\pi }{6})$。如果说最终结果是$x$，那么$x$模长的立方为$8$，也就是模长为$2$。辐角为$\theta$，则$3\theta =\frac{\pi }{6}+2k\pi$，即$\theta =\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$。取$k=0,1,2$可以得到三个本质不同的$\theta$值，则三个$2cos\theta +2isin\theta$就是$z$的立方根。应该取哪一个呢？

聪明的$txl$：在复数里，你可以称三个结果都是$\sqrt[3]{4\sqrt{3}+4i}$。看起来你掌握的不错嘛。

愚蠢的$HP$：呕吼。
聪明的$txl$：既然你兴趣那么浓厚，那么我们把导数也讲了吧，因为后面可能要涉及到有关求导的知识。

欲知后事如何，请听下回因式分解。