【现代密码学原理】——期末复习（冲刺篇）

📖 前言：快考试了，做篇期末总结，都是重点与必考点。

博主预测考点：
计算题：RSA、Diffie-Hellman密钥交换、EIGamal 密钥交换、使用SHA-512算法，计算消息的Hash值、计算消息的HMAC
应用题：代替技术（1-2个）、置换技术、转轮机、分组密码、DES/AES的某一个环节

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🕒 1. 信息与网络安全概念

🕘 1.1 CIA

安全的三个关键目标：CIA

• 保密性，信息没有出现非授权泄露；
• 完整性，信息没有出现非授权修改或破坏；
• 可用性，信息能够及时可靠地访问和使用。

🕘 1.2 OSI 安全架构

OSI安全架构主要关注安全攻击、安全机制和安全服务

• 安全攻击： 任何危及信息系统安全的行为。
• 安全机制： 检测、阻止、恢复的过程。
• 安全服务： 加强系统安全性的服务。

🕘 1.3 安全攻击

🕤 1.3.1 被动攻击

• 对传输进行窃听或监测，获取信息内容或流量模式
• 目的：获取传输的信息
• 两种被动攻击：信息内容泄露、流量分析

🕤 1.3.2 主动攻击

• 对数据流进行修改或伪造数据流
• 难以预防，只能检测后做到尽快恢复

分四类：伪装、重放、消息篡改和拒绝服务

• 消息篡改
  

• 重放
  

应用：Alice 传输认证信息给Bob ，告知Bob “我是Alice，代号0101，源IP为B”，Darth 截获该信息，获取了Alice代号。
Bob 收到信息后通过了Alice的认证
Darth 在认证后重发该信息“我是Alice，代号0101，IP为D”
Bob 通过认证，并认为这个IP也是Alice使用的

• 伪装
  

Darth 通过重放获取了Bob的认证信息，从而伪装成 Bob 传输信息给Alice 。
Alice 误以为接收到Bob的消息，实际来自Darth

• 拒绝服务
  

🕘 1.4 网络安全模型

• 设计一个算法，它执行与安全相关的变换。该算法应是攻击者无法攻破的。
• 产生算法所使用的秘密信息。
• 设计分配和共享秘密信息的方法。
• 指明通信双方使用的协议，该协议利用安全算法和秘密信息实现安全服务。

🕒 2. 传统加密技术

🕘 2.1 加密技术的发展

• 传统加密：70年代前唯一的加密方法
• 对称加密：通信双方使用的密钥相同
• 单钥加密：加密、解密只涉及一个密钥

传统加密技术迄今仍广泛应用，DES、AES均在其中

🕘 2.2 传统密码模型

🕘 2.3 密码编码学

• 研究各种加密方案的领域 被称为密码编码学
• 研究的加密方案 被称为密码

🕤 2.3.1 特征

1. 明文到密文的运算
   所有的加密算法都基于两个原理：

• 代替：将明文中的每个元素映射成另一个元素，但顺序不变，如摩斯电码用—表示0
• 置换：将明文中的元素重新排列，明文字母保存不变，如栅栏技术

⌛ 大多数密码体制都是这两者的多重组合

2. 所用的密钥数

• 相同密钥：通信双方使用相同的密钥，这种称为单钥密码、对称密码、传统密码，如DES、AES

• 不同密钥：通信双方使用不同的密钥，这种称为双钥密码、非对称密码、公钥密码，如RSA

3. 处理明文

• 分组密码：加密算法一次处理一组元素，输出一组元素。典型的分组大小为64位或128位。（类似并行）

• 流密码：加密算法连续不断地处理元素，但一次只能处理一个元素，输出一个元素。元素可能是1字节，可能是1bit。（类似串行）

分组密码的应用范围比流密码要广泛

🕘 2.4 密码分析学与穷举攻击

• 密码分析学：利用算法的性质、明文的一般特征或某些明密文对。在缺少某些加密的细节情况下来推导特定的明文或使用的密钥。
• 穷举攻击：对一条密文尝试所有可能的密钥，直到把它转换为可读的、有意义的明文。平均而言，获得成功至少需要尝试所有可能密钥的一半。密钥的N种可能建立在已知明文类型的基础上

无论哪种方式，一旦推导出密钥，影响都将是灾难性的，过去、现在、未来所有使用该密钥加密的信息内容都出现了非授权泄露。

🕘 2.5 攻击类型

攻击类型	密码分析者已知的信息
唯密文攻击	加密算法 密文
已知明文攻击	加密算法 密文 用（与待解密文的）同一密钥加密的一个或多个明文对，如某些关键词/公司版权信息的位置
选择明文攻击	加密算法 密文 分析者选择的明文，及对应的密文（与待解密文使用同一密钥加密），如选择“123”让发送方发出，然后再截获分析
选择密文攻击	加密算法 密文 分析者选择的一些密文，及对应的明文（与待解密文使用同一密钥加密）
选择文本攻击	加密算法 密文 分析者选择的明文，及对应的密文（与待解密文使用同一密钥加密） 分析者选择的一些密文，及对应的明文（与待解密文使用同一密钥加密）

🕘 2.6 代替技术 ☆☆☆

🕤 2.6.1 Caesar 密码

Caesar密码是最早的代替密码，其加密原理非常简单，就是对字母表中的每个字母用它之后的第N个字母来代替
$\begin{array}{l}\begin{array}{cccccccccccccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}& \mathrm{d}& \mathrm{e}& \mathrm{f}& \mathrm{g}& \mathrm{h}& \mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}& \mathrm{l}& \mathrm{m}& \mathrm{n}\\ 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13\end{array}\\ \\ \begin{array}{cccccccccccc}\mathrm{o}& \mathrm{p}& \mathrm{q}& \mathrm{r}& \mathrm{s}& \mathrm{t}& \mathrm{u}& \mathrm{v}& \mathrm{w}& \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\end{array}\end{array}$

记住是从0开始！

练习题
截获密文“IBQQZ FOEJOH”，已知使用Caesar加密，请恢复出明文。
【提示】密钥k在[1,3]之间
解答：当密钥 K = 1 ：

还原出的明文具有实际意义，因此对应的明文为happy ending

若截获到一个用Caesar密码来加密的密文，那么参与加密运算E的密钥K只有25种可能，数量级很小，可以使用穷举攻击试出密钥K。

🕤 2.6.2 单表代替密码

对集合S内的所有元素进行排列，每个元素均出现且只出现一次，即全排列

若集合S 由n个元素组成，对S内的n个元素进行全排列
□□…□□□
第1位有n种选择，第2位有n-1种…以此类推，第n-1位有2种选择，第n位有1种选择，一共有n*(n-1)*(n-2)*.......*3*2*1种，即n!

即【明文字母表X】，通过指定【序号K】的【全排列】的变换，生成密文字母表Y
密钥K有26！种可能，远大于Caesar密码的密钥数量，可以抵挡对密钥K的穷举攻击

攻击：频率分析（可单/双字母分析）

🕤 2.6.3 多字母代替密码（Playfair密码）

Playfair密码是最早的多字母代替密码

规则：

• 从左到右2个2个地读取，当读取至相同字母时，则在它们之间插入任意填充字母如x，继续读取
• 如果遇到明文为奇数对，则在最后补位，如补x
• 矩阵中没有字母J，则明文中的J要被I代换。

加密：

• 同行用右边字母，同列用下边字母，异行异列（如下图）
  

练习题
Alice和Bob选择“monarchy”作为Playfair加密的密钥词，请画出加密矩阵。并加密明文“balloon”
解答：处理明文：明文变为ba、lx、lo、on

密文：IB、SU、PM、NA

优点：一定程度隐藏了字母统计规律
缺点：仍可以做字母频率分析，相比单表代替密码难度大一点

🕤 2.6.4 多表代替加密（Vigenère密码）

$\begin{array}{l}\begin{array}{cccccccccccccc}\mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}& \mathrm{d}& \mathrm{e}& \mathrm{f}& \mathrm{g}& \mathrm{h}& \mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}& \mathrm{l}& \mathrm{m}& \mathrm{n}\\ 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13\end{array}\\ \\ \begin{array}{cccccccccccc}\mathrm{o}& \mathrm{p}& \mathrm{q}& \mathrm{r}& \mathrm{s}& \mathrm{t}& \mathrm{u}& \mathrm{v}& \mathrm{w}& \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\end{array}\end{array}$

练习题
Alice和Bob传递的明文为“happy”，约定用“hi”作为Vigenere加密的密钥词，请给出密文。

🕤 2.6.5 多表代替加密（Vernam密码）

练习题
使用Vernam密码加密信息“10 110 1110” ，对应的密钥流为 “00 100 1001”，请给出密文。

🕤 2.6.6 一次一密

使用与明文一样长、无重复、随机的密钥来加密消息，该密钥在解密消息后就丢弃不用

极度安全，很少使用

1. 很难生产出超大规模的真正随机的字符
2. 双方每发送一条信息就要依赖一个等长度的密钥来进行加解密，密钥的分配和保护困难。

🕘 2.7 置换技术 ☆☆☆

🕤 2.7.1 栅栏技术

• 对角线的顺序写出明文
• 按行的顺序读出密文：MMTHG ETEFETEOA EART

🕤 2.7.2 多步置换

1. 给定密钥共n位，将明文按一行n个排成矩阵
2. 将明文依次填入矩阵，不足位选任意字母补齐（一般从z开始倒着写）
3. 按对应列密钥次序读取生成密文
4. 为达到更安全的目的，进行第2次置换
5. 将1次置换生成的密文依次填入矩阵，按列读取

练习题
使用多步置换来加密信息“just do it”，密钥为31542，请给出二重置换后的密文。

🕘 2.8 多层加密

🕤 2.8.1 转轮机 ☆☆☆

练习题
某转轮机构成如图所示。操作员按下字母b，经过三个圆筒处理后，分别变成了哪些字母？
操作员按下字母b后，第一个圆筒旋转1次，请画出旋转后的整个转轮机结构，无需标记内部连线。

解答：（1）B -> W -> M -> I
（2）

🕒 3. 分组密码和数据加密标准（DES）

🕘 3.1 分组密码

练习题：某4位分组密码的加密规则如上所示，请使用该密码加密大写字母A（ASCII值为65）。
解答：
将十进制65 转化为8位二进制数 0100 0001

• 第一组0100 ：对应十进制为4，加密规则将4号输入状态转换为2号输出状态，对应二进制0010；
• 第二组0001 ：对应十进制为1，加密规则将1号输入状态转换为4号输出状态，对应二进制0100；
  因此密文为0010 0100，十进制为36
  

🕘 3.2 DES ☆☆☆

🕤 3.2.1 初始置换（IP）

64位明文分组按照置换表进行重排列，元素的位置发生改变，产生64位的输出

🕤 3.2.2 16轮处理

64位数据继续进行16轮处理，每轮都是相同的Feistel结构，最终产生64位输出

🕤 3.2.3 轮函数（F）

轮函数内部又包含4种变换，分别为扩展置换、XOR、S盒置换、P盒置换

🕞 3.2.3.1 扩展置换（E）

将32位输入按扩展置换表扩展成为48位输出，使得扩展后数据长度与48位子密钥 等长

🕞 3.2.3.2 异或XOR（⊕）

将扩展置换生成的48位输出，与48位子密钥进行按位异或XOR

🕞 3.2.3.3 S盒置换

将48位输出每6位分成一组，每一组都通过S盒置换变为了4位

• 6位中取第1位和第6位组成行号，剩余第2、3、4、5位组成列号
• 从S盒置换表中取出相应的十进制数，转化为4位二进制数

练习题
S盒的输入为111100，输出是什么？
$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}14& 4& 13& 1& 2& 15& 11& 8& 3& 10& 6& 12& 5& 9& 0& 7\\ 0& 15& 7& 4& 14& 2& 13& 1& 10& 6& 12& 11& 9& 5& 3& 8\\ 4& 1& 14& 8& 13& 6& 2& 11& 15& 12& 9& 7& 3& 10& 5& 0\\ 15& 12& 8& 2& 4& 9& 1& 7& 5& 11& 3& 14& 10& 0& 6& 13\end{array}$
解答：

答案是0101

• 每个S盒的每一行都是整数0到15的一个置换
• 改变S盒的任一输入比特，其输出至少有两比特发生改变

🕞 3.2.3.4 P盒置换

32位输出数据进行P盒置换，仍然输出为32位数据

🕤 3.2.4 逆初始置换（IP^-1）

🕤 3.2.5 密钥生成

DES 提供了64位的密钥，但实际仅用到了其中的56位。

🕞 3.2.5.1 置换选择1

给64位密钥从1到64编号，忽略每个第8位，按照置换表进行选择与重新排列，产生56位的输出，分成两半：$C_0，D_0$

$\begin{array}{llcccccc}{C}_0& 57& 49& 41& 33& 25& 17& 9\\ & 1& 58& 50& 42& 34& 26& 18\\ & 10& 2& 59& 51& 43& 35& 27\\ & 19& 11& 3& 60& 52& 44& 36\\ D_0& 63& 55& 47& 39& 31& 23& 15\\ & 7& 62& 54& 46& 38& 30& 22\\ & 14& 6& 61& 53& 45& 37& 29\\ & 21& 13& 5& 28& 20& 12& 4\end{array}$

练习题
已知64位DES密钥如下，请给出进行置换选择1后的$C_0$。
$\begin{array}{llllllll}1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}$
解答：

进行置换选择1后的$C_0$：
$\begin{array}{lllllll}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}$

🕞 3.2.5.2 循环左移

56位密钥循环左移一次，产生56位的输出

$\begin{array}{lllllllllllllllll}\text{ 迭代次数 }& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16\\ \text{ 移位次数 }& 1& 1& 2& 2& 2& 2& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 2& 2& 2& 1\end{array}$

$\begin{array}{l}{C}_0=1111000011001100101010101111\\ D_0=0101010101100110011110001111\\ C_1=1110000110011001010101011111\\ D_1=1010101011001100111100011110\\ C_2=1100001100110010101010111111\\ D_2=0101010110011001111000111101\\ C_3=0000110011001010101011111111\\ D_3=0101011001100111100011110101\\ C_4=0011001100101010101111111100\\ D_4=0101100110011110001111010101\end{array}$

🕞 3.2.5.3 置换选择2

56位输入按照置换表进行选择与重新排列，产生48位的输出

🕒 4. 高级加密标准（AES）

🕘 4.1 总体结构

🕤 4.1.1 明文分组处理

• AES明文分组128bit，每8bit构成一个字节，表示为十六进制

• 于是将AES的明文分组表示为16个字节的形式
  

• 将16字节的明文分组按列填入4*4的矩阵
  

🕘 4.2 详细结构

• AES 不是Feistel结构，没有用分组的一半去修改另一半然后交换
• 每一轮都使用代替和置换，将整个数据分组作为一个单一矩阵进行处理
• 算法由初始变换“轮密钥加”开始，接着执行9轮加密运算，每轮都包含4个阶段
• 分别为字节代替（Substitute bytes）、行移位（ShiftRows）、列混淆（MixColumns）、轮密钥加（AddRoundKey）

🕤 4.2.1 AES的一轮加密

🕘 4.3 AES的变换函数

🕤 4.3.1 字节代替（Substitute bytes）

• AES 定义了一个S盒，由16*16个字节组成
• state的字节${\mathbf{S}}_{(1,1)}=(\mathbf{xy})$，将𝒙作为行值，𝒚作为列值，S盒对应位置的元素就是新的${\mathbf{S}}_{(1,1)}^{\prime }$

十六进制{95},行x=9，列y=5，经S盒被代替为{2A}

十六进制{2A},行x=2，列y=A，逆S盒将其代替为{95}

将当前state矩阵的各个字节依次输入S盒，字节代替结果如上所示

🕤 4.3.2 行移位（ShiftRows）

state矩阵的第一行保持不变，第二行循环左移1字节，第三行循环左移2字节，第四行左移3字节

🕤 4.3.3 列混淆（MixColumns）

state矩阵的每一列左乘系数矩阵，相乘的结果作为新的列值

🕤 4.3.4 轮密钥加（AddRoundKey）

例中第一个矩阵是状态，第二个矩阵是轮密钥

将当前state矩阵与轮密钥矩阵的各个字节进行按位异或
如state中的{3A}与 轮密钥中的{29}进行XOR

🕤 4.3.5 AES单轮输入

🕒 5. 分组加密的工作模式

• 当明文长度b 超过了 分组长度n，需要将明文划分成一个个分组
• 而加密算法如何依次加密这些分组，就是工作模式

🕘 5.1 电码本ECB

• 一次处理一个明文分组，每次使用相同的密钥加密
• 一段消息中若有几个明文分组，密文也将出现几个相同的密文分组

🕘 5.2 密文分组链接CBC

• 加密算法的输入是当前的明文分组 和 上一个密文分组的异或
• 重复的明文分组会被加密成不同的密文分组

🕘 5.3 密文反馈CFB

• 密文反馈模式CFB 对明文的处理类似于流密码

🕘 5.4 输出反馈OFB

• 解密过程与CFB类似，也是将密文分组与一个特定的${\mathbf{O}}_{\mathbf{i}}$再次进行异或，还原出明文分组

无论是密文反馈模式CFB，还是输出反馈模式OFB，它们每一个分组的加密都要等待上一个加密流程的输出，所以无法并行地处理一段明文消息

🕘 5.5 计数器模式CTR

当确定了明文消息划分出的分组个数N后，就确定了N个计数器的值，加密后就确定了N个参与异或运算的输出值，可以并行地为明文分组进行异或。

模式	描述	典型应用
Electronic Codebook (ECB)	用相同的密钥分别对明文分组单独加密	单个数据的安全传输（如一个加密密钥）
Cipher Block Chaining (CBC)	加密算法的输入是上一个密文分组和下一个明文分组的异或	面向分组的通用传输；认证
Cipher Feedback (CFB)	一次处理输入的s位，上一个密文分组作为加密算法的输入，产生的伪随机数输出与明文异或后作为下一个单元的密文	面向数据流的通用传输；认证
Output Feedback (OFB)	与CFB类似，只是加密算法的输入是上一次加密的输出，并且使用整个分组	噪声信道上的数据流的传输（如卫星通信）
Counter(CTR)	每个明文分组都与一个经过加密的计数器异或。对每个后续的分组，计数器增1	面向分组的通用传输；用于高速需求

🕒 6. 公钥密码学与RSA

🕘 6.1 组成

🕤 6.1.1 明文

通信双方发送的原始的、有意义的可读信息/数据，称为明文X

🕤 6.1.2 加密算法

加密算法E 将 明文X 进行各种转换

🕤 6.1.3 公钥

每个用户都产生一对密钥

其中一个是公开的，存放于公开寄存器或其他可访问的文件中，即公钥PU

🕤 6.1.4 私钥

每个用户都产生一对密钥

另外一个是私有的，只有自己才知道，即私钥PR

每个用户都有公钥PU、私钥PR

选用其中一把来加密，就用剩下的一把来解密

🕤 6.1.5 密文

加密算法E 读取 明文X 和 密钥PU/PR ，产生的输出就是 密文Y

🕤 6.1.6 解密算法

解密算法D 读取 密文Y 和 密钥PR/PU ，产生的输出就是 明文X

🕘 6.2 公钥加密

• Bob 有一个公钥环，上面有很多人的公钥，当他要和某人进行通信，就选择对应的公钥来加密

• Bob 现在要发送消息给Alice，所以选择Alice的公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{a}}$， 将其加入到加密算法$E$中

• 加密算法$E$读取明文$X$、公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{a}}$，生成密文$Y$
  $\mathbf{Y}=\mathbf{E}(\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{a}}，\mathbf{X})$

• Alice收到了Bob发来的密文，使用自己的私钥$\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{a}}$ 来还原出明文

• 解密算法$D$ 读取密文$Y$、私钥$\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{a}}$，还原明文$X$
  $\mathbf{X}=\mathbf{D}(\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{a}}，\mathbf{Y})$

• 由于解密使用的私钥只有 Alice自己知道，所以其他人无法解密 ，只有 Alice具有消息的访问权

🕘 6.3 私钥加密

• Bob 给Alice 发送明文$X$，加密时使用的是他自己的私钥$\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{b}}$，生成的密文为$Y$

• 加密算法$E$ 读取明文$X$ 和私钥$\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{b}}$，生成密文$Y$
  $\mathbf{Y}=\mathbf{E}(\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{b}}，\mathbf{X})$

• Alice 收到了Bob 发来的密文$Y$，将其输入解密算法$D$，并从公钥环中找出发送方Bob 的公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{b}}$，还原出明文$X$

• 解密算法$D$ 读取密文$Y$ 和公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{b}}$，生成明文$X$
  $\mathbf{X}=\mathbf{D}(\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{b}}，\mathbf{Y})$

• $\mathbf{Y}=\mathbf{E}(\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{b}}，\mathbf{X})，\mathbf{X}=\mathbf{D}(\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{b}}，\mathbf{Y})$

• Alice 收到了据说是Bob 发出的密文，若Alice 能使用Bob的公钥解密出明文，那么消息来源正确，因为只有Bob 才知道加密使用的私钥

🕘 6.4 双重加密

用发送方的私钥签名，用接收方的公钥加密

🕘 6.5 RSA算法☆☆☆

RSA是分组密码，用到的数学基础是：欧拉定理、大整数因子分解的困难性

1. 挑选p、q
   $$p=17,q=11$$

• Alice 现在要产生自己的公钥PU 与 私钥PR
• 首先选择两个素数p、q，它们只能被1和自身整除，Alice选择了p=17，q=11
• p、q保密，Alice选定得到

2. 计算n
   $$\mathbf{n}=\mathbf{pq}=17\times 11=187$$

• 然后计算这两个素数pq的乘积n=187
• n 公开，Alice计算得到

3. 计算$\varphi (\mathbf{n})$
   $\varphi (\mathbf{n})=\varphi (\mathbf{pq})$
   $=(\mathbf{p}-1)\times (\mathbf{q}-1)$
   $=16\times 10=160$
   计算乘积n的欧拉函数$\varphi (\mathbf{n})=160$

4. 挑选e
   $$\mathbf{gcd}(\varphi (\mathbf{n})，\mathbf{e})=1$$$$1<\mathbf{e}<\varphi (\mathbf{n})$$

• 选出一个e，使得e与$\varphi (\mathbf{n})$互素，且保证e小于$\varphi (\mathbf{n})$，Alice挑选的$e=7$
• e 公开，Alice选定得到

5. 计算d
   $$\mathbf{d}\equiv {\mathbf{e}}^{(-1)}(\mathbf{mod}\varphi (\mathbf{n}))$$

• 计算数值d，即求e在$mod160$下的乘法逆元，使用扩展欧几里得算法
• d 保密，由Alice计算得到

插播：扩展欧几里得算法
$7(\mathbf{mod}160)$
$\mathbf{gcd}(160,7)=1$
$7\mathbf{y}(\mathbf{mod}160)=1$
$7\mathbf{y}=160\mathbf{x}+1$
$7\mathbf{y}-160\mathbf{x}=1$
$160\mathbf{x}+7\mathbf{y}=1=\mathbf{gcd}(160,7)$

$\begin{array}{cccccc}\varphi (n)& e& q_i& \mathrm{d}& x_i& y_i\\ 160& 7& 22& 1& -1& 23\\ 7& 6& 1& 1& 1& -1\\ 6& 1& 6& 1& 0& 1\\ 1& 0& & 1& 1& 0\end{array}$

因此x=23=d，即所求乘法逆元

6. 组成公私钥
   𝑷 𝑼 𝒂 = { 𝒆 , 𝒏 } = { 𝟕 , 𝟏 𝟖 𝟕 } 𝑷𝑼_𝒂=\{𝒆,𝒏\}=\{𝟕,𝟏𝟖𝟕\} PUa​={e,n}={7,187}
   𝑷 𝑹 𝒂 = { 𝒅 , 𝒏 } = { 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟖 𝟕 } 𝑷𝑹_𝒂=\{𝒅,𝒏\}=\{𝟐𝟑,𝟏𝟖𝟕\} PRa​={d,n}={23,187}

• 将数值组合{e,n}作为公钥公开，将{d,n}作为私钥保密

8. 生成密文Y

• Bob 要给Alice 发送消息X，使用Alice的公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{a}}$ 加密

• 算法规定将公钥中的数值e作为幂值，将数值n作为模数
  $\mathbf{Y}=\mathbf{E}(\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{a}}，\mathbf{X})$
  $=\mathbf{E}(\mathbf{e},\mathbf{n}，\mathbf{X})$
  $={\mathbf{X}}^{\mathbf{e}}\mathbf{mod}\mathbf{n}$
  $=88^7\mathbf{mod}187$

• RSA 也是分组密码，可以处理的明文X < n

• 若Bob发送的明文X=88，Alice的公钥为{7,187}，得出密文Y=11

8. 还原明文X

• Alice 收到密文Y后，使用她自己的私钥$\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{a}}$进行解密

• 解密算法函数与加密相同，仍然将密钥第一部分d作为幂值，第二部分n作为模数
  $\mathbf{X}=\mathbf{D}(\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{a}}，\mathbf{Y})$
  = 𝑫 ( { 𝒅 , 𝒏 } ， 𝒀 ) =𝑫(\{𝒅,𝒏\}，𝒀) =D({d,n}，Y)
  $={\mathbf{Y}}^{\mathbf{d}}\mathbf{mod}\mathbf{n}$
  $=11^{23}\mathbf{mod}187$

• 私钥 𝑷 𝑹 𝒂 = { 23 , 187 } 𝑷𝑹_𝒂=\{23,187\} PRa​={23,187}

• 计算得到的结果X=88，与Bob发送的原始数值相同

小结：

1. 素数 $p,q$
2. $\mathbf{n}=\mathbf{p}\times \mathbf{q}$
3. $\mathbf{\varphi }(\mathbf{n})=(\mathbf{p}-1)\times (\mathbf{q}-1)$
4. $\gcd (e,\varphi (n))=1$
5. $d\equiv e^{-1}(\mathrm{mod}\varphi (n))$
6. P U = { e , n } , P R = { d , n } P U=\{e, n\}, P R=\{d, n\} PU={e,n},PR={d,n}
7. $Y=X^e\mathrm{mod}n$
8. $X=Y^d\mathrm{mod}n$

练习题：
已知p=17，q=2，请使用RSA算法计算出一对公钥与私钥，并使用公钥加密明文消息“3”。
解答：已知 p=17, q=2
$n=p\times q=17\times 2=34$
$\varphi (n)=(p-1)(q-1)=16\times 1=16$
选取$e$使其与$\varphi (n)$互素，令$e=3$
计算$d$，使得$d\times e=1(mod\varphi (n))$，即$d=e^{-1}mod16=3^{-1}mod16$
根据扩展欧几里得算法，有$3x+16y=gcd(3,16)$
$\begin{array}{cccccc}\varphi (n)& e& q_i& \mathrm{d}& x_i& y_i\\ 16& 3& 5& 1& 1& -5\\ 3& 1& 3& 1& 0& 1\\ 1& 0& & 1& 1& 0\end{array}$
得$x=-5(mod16)=11$即$d=11$
因此公钥 { e , n } = { 3 , 34 } \{e, n\}=\{3,34\} {e,n}={3,34}，私钥 { d , n } = { 11 , 34 } \{d, n\}=\{11,34\} {d,n}={11,34}。
密文$C=x^{e}modn=3^{3}mod34=27$。

🕒 7. 密钥管理和其他公钥体制

🕘 7.1 Diffie-Hellman 密钥交换

• Alice和Bob要进行密钥交换，首先他们共享一个素数$q$以及整数𝜶，并公开
• 𝜶<𝒒，𝜶是素数q的本原根
• Alice 选择随机整数${\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}<\mathbf{q}，{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}$是私有的，只有Alice自己知道，即Alice的私钥
• Bob 也选择一个随机整数${\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}<\mathbf{q}$，作为Bob 的私钥
• Alice 计算${\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}=a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$，计算得到的${\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}$是公开可访问的，即Alice的公钥
• Bob 也计算他的公钥${\mathbf{Y}}_{\mathbf{B}}=a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
• Alice 将自己的公钥${\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}$发送给 Bob，Bob获取到了Alice 的公钥
• Bob 也将他的公钥${\mathbf{Y}}_{\mathbf{B}}$发送给了Alice
• Alice 计算 $\mathbf{K}=({\mathbf{Y}}_{\mathbf{B}}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
• Bob 也使用该方法计算 $\mathbf{K}=({\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
• 二人计算结果相同，至此双方完成了$K$的交换
• $K$值在双方本地生成，且只有双方已知，因此常将这个$K$值作为对称密码的密钥

证明：$\mathbf{K}=({\mathbf{Y}}_{\mathbf{B}}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
= $(a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
=$(a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
=$a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
=$(a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
=$(a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$
=${({\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}})}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{B}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}$

练习题
已知A和B使用Diffie-Hellman密钥交换算法，共享参数q=11，它的一个本原根a=6，A的私钥为3，B的私钥为4，计算通信密钥K。
解答：已知$q=11$，$a=6$，$X_A=3$，$X_B=4$，则：
$A$的公钥$Y_A=a^{X_A}modq=6^{3}mod11=7$，
$B$的公钥$Y_B=a^{A_B}modq=6^{4}mod11=9$，
通信密钥$K=Y_B^{X_A}modq=9^{3}mod11=3$
或者$K=Y_A^{X_B}modq=7^{4}mod11=3$。

🕘 7.2 EIGamal 密钥交换

• $\mathbf{q}=19,a=10$

• Alice 选择私钥${\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}=5$（$X^A<q-1$），计算${\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}=a^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}=10^5\mathbf{mod}19=3$

• Alice 的公钥对为： { 𝒒 , a , 𝒀 𝑨 } = { 𝟏 𝟗 , 𝟏 𝟎 , 𝟑 } \{𝒒,a,𝒀_𝑨\}=\{𝟏𝟗,𝟏𝟎,𝟑\} {q,a,YA​}={19,10,3}

• Bob 生成一个整数$k=6$（$k<q$）

• 收到Alice的公钥{19,10,3}，计算密钥$\mathbf{K}=({\mathbf{Y}}_{\mathbf{A}}{)}^{\mathbf{k}}\mathbf{mod}\mathbf{q}=3^6\mathbf{mod}19=7$

• Alice的公钥{19,10,3}

• Bob 要给Alice发送消息M=17，因此计算

• ${\mathbf{C}}_1=a^{\mathbf{k}}\mathbf{mod}\mathbf{q}=10^6\mathbf{mod}19=11$

• ${\mathbf{C}}_2=\mathbf{KM}\mathbf{mod}\mathbf{q}=7\times 17\mathbf{mod}19=5$

• Bob 将密文${\mathbf{C}}_1、{\mathbf{C}}_2$发送给Alice

• Alice 根据${\mathbf{C}}_1$计算密钥$\mathbf{K}=({\mathbf{C}}_1{)}^{{\mathbf{X}}_{\mathbf{A}}}\mathbf{mod}\mathbf{q}=7$

• 根据${\mathbf{C}}_2$还原消息 $\mathbf{M}=({\mathbf{C}}_2{\mathbf{K}}^{-})\mathbf{mod}\mathbf{q}=17$

练习题
已知B要给A发送消息5，使用ElGamal加密，k=4，q=13，a=2，A的私钥为3，给出密钥K、密文C1与密文C2。
答：已知$M=5,k=4,q=13,a=2,X_A=3$
$Y_A=a^{X_A}modq=2^{3}mod13=8$
$K=(Y_A{)}^{k}modq=8^{4}mod13=1$
$C_1=a^{k}modq=2^{4}mod13=3$
$C_2=KMmodq=(1\times 5)mod13=5$

🕒 8. Hash 函数

• Hash 函数，也称散列函数
• 可以将可变长度的数据块M 作为输入，产生一个固定长度的Hash值
  $$\mathbf{h}=\mathbf{H}(\mathbf{M})$$

🕘 8.1 Hash 函数的应用

🕤 8.1.1 消息认证

• 消息认证 是用来验证消息完整性的一种机制；
• 确保接收方Alice收到的数据确实和发送方Bob发出的数据一样，没有非授权的修改、插入、删除和重放；
• 消息认证 还要对发送方声称的身份进行认证；
• 当Hash 用于消息认证时，Hash值也称为消息摘要

方法一：消息$M$与哈希值$H(M)$均对称加密并传输

• A给B发送消息𝑴 ， 𝑴的Hash值为𝑯(𝑴)，拼接得$\mathbf{M}\Vert \mathbf{H}(\mathbf{M})$
• 使用密钥𝑲 与 对称加密算法𝑬 为数据加密，生成$\mathbf{E}(\mathbf{K},\mathbf{M}\Vert \mathbf{H})$
• B 收到密文后，使用只有双方共享的密钥𝑲 解密，确认了消息一定来源于 A
• 解密得到$\mathbf{M}\Vert \mathbf{H}(\mathbf{M})$，再次使用Hash 对𝑴 进行计算，得到的值必然是𝑯(𝑴)，确认了消息未被更改

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方法二：只对称加密哈希值并传输

• A给B发送消息𝑴 ， 𝑴的Hash值为𝑯(𝑴)，加密得$\mathbf{E}(\mathbf{K},\mathbf{H}(\mathbf{M}))$
• 将加密后的Hash值 拼接在消息𝑴 后，一起发出$\mathbf{M}\Vert \mathbf{E}(\mathbf{K},\mathbf{H}(\mathbf{M}))$
• B 收到后，对后n位数据使用只有双方共享的密钥𝑲 解密，得到了Hash值，并且只有B 才能看到 Hash值
• 若对消息𝑴 进行计算得到的值与该Hash值相同，确认了消息未发生篡改

方法三：双方共享校验值

• 通信双方共享一个秘密值S
• A 将消息M 和秘密值S 串联后，计算其Hash值，并将得到的Hash值 附在消息M 后发送给B
• B 收到后，将双方预先知道的秘密值S 拼在M后，计算出Hash值，若与接收到的Hash值相同，说明消息未篡改
• 秘密值S 本身没有在信道中传送

方法四：消息$M$与哈希值$H(M)$均对称加密并加入校验值

• 在方案三的基础上，使用双方共享的密钥K与对称加密算法E 来为消息M 与Hash值H 一起加密
• 即保证了消息的保密性，也保证了完整性

🕤 8.1.2 数字签名

方法一：非对称加密哈希值并传输

• A给B发送消息𝑴 ， 𝑴的Hash值为𝑯(𝑴)，加密得$\mathbf{E}(\mathbf{P}{\mathbf{R}}_{\mathbf{A}}，\mathbf{H}(\mathbf{M}))$，注意是发送方的私钥
• 将加密后的Hash值 拼接在消息𝑴 后，一起发出
• B 收到后，对消息𝑴 计算其Hash值
• 使用发送方A的公钥$\mathbf{P}{\mathbf{U}}_{\mathbf{A}}$ 来解密后半部分，得到了原始Hash值，若二者相同说明消息未被篡改

方法二：

• 若既要保证消息的完整性，又要保证消息的保密性，可以在数字签名的基础上为 消息M 和 加密Hash值 一起使用密钥K 进行对称加密

🕘 8.2 安全需求

1. 可变输入
   Hash函数 可应用于任意大小的数据块

2. 固定长度
   Hash函数 产生的是固定长度的输出

3. 计算效率
   对任意消息x，计算H(x)容易，硬件软件均可实现

4. 抗原像攻击
   对于Hash值 𝒉=𝑯(𝒙) ，称𝒙是𝒉的原像
   给定𝒉，找到满足𝒉=𝑯(𝒙) 的 𝒙 在计算上不可行，即不能通过哈希值反推出明文

5. 抗弱碰撞
   对任意给定的𝒙，找到满足𝒚≠𝒙 且𝑯(𝒚)=𝑯(𝒙)的𝒚，在计算上不可行，即已知一个明文与其哈希值，不能找到另一个哈希值与这个已知明文的哈希值相等的明文

6. 抗强碰撞（生日攻击）
   找到任何满足𝑯(𝒚)=𝑯(𝒙)的偶对(𝒙,𝒚)，在计算上不可行，即不能同时找到两个消息而且它们的哈希值相等

$\begin{array}{cccc}& \text{ 抗原像 }& \text{ 抗弱碰撞 }& \text{ 抗强碰撞 }\\ \text{ Hash数字签名 }& Y& Y& Y\\ \text{ 入侵检测、病毒检测 }& & Y& \\ \text{ 单向口令文件 }& Y& & \end{array}$

🕘 8.3 安全Hash算法

$\begin{array}{lllllll}& \text{ SHA-1 }& \text{ SHA-224 }& \text{ SHA-256 }& \text{ SHA-512 }& \begin{array}{l}\text{ SHA- }\\ 512/224\end{array}& \begin{array}{l}\text{ SHA- }\\ 512/256\end{array}\\ \text{ 消息摘要长度（即哈希值长度）}& 160& 224& 256& 512& 224& 256\\ \text{ 消息长度 }& <2^{64}& <2^{64}& <2^{64}& <2^{128}& <2^{128}& <2^{128}\\ \text{ 分组长度 }& 512& 512& 512& 1024& 1024& 1024\\ \text{ 字长度 }& 32& 32& 32& 64& 64& 64\end{array}$

🕘 8.4 SHA-512

🕤 8.4.1 附加填充位（步骤1）

• 要处理消息𝑴，长度𝑳 bits
• 在消息𝑴后 增加 填充内容𝑷，使得填充后的长度${\mathbf{L}}_{\mathbf{M}}+{\mathbf{L}}_{\mathbf{P}}=896(\mathbf{mod}1024)$
• 即使消息𝑴的长度已满足要求，仍需要进行填充
• 填充的位数在 1~1024 之间，填充内容为1和一串连续0

🕤 8.4.2 附加长度位（步骤2）

• 在填充内容𝑷 之后附加一个128位的块，用来放消息𝑴的长度𝑳
• 在该块中，将长度𝑳放在低位上，其余高位为空则放0
• 经过填充，消息长度为$N\ast 1024$，将其划分为一个个1024位的分组${\mathbf{M}}_1，{\mathbf{M}}_2，....{\mathbf{M}}_{\mathbf{N}}$

练习：
使用SHA-512算法，计算消息36的Hash值，问：
（1）消息长度是多少个bit？
（2）填充内容P 是什么？
（3）消息长度区域L 是什么？
（4）生成的Hash长度是什么？
答：
（1）$\mathbf{M}=36$，化二进制为：100100，因此消息𝑴的长度是6个bit
（2）${\mathbf{L}}_{\mathbf{M}}+{\mathbf{L}}_{\mathbf{P}}=896(\mathbf{mod}1024)$
$6+{\mathbf{L}}_{\mathbf{P}}=896(\mathbf{mod}1024)$
${\mathbf{L}}_{\mathbf{P}}=890(\mathbf{mod}1024)=\mathbf{n}\times 1024+890$
令${\mathbf{L}}_{\mathbf{P}}=890$（即n取0），填充内容$\mathbf{P}$：1和889个0
（3）$\mathbf{M}=36$，继续填充 消息长度区域，消息长度为6，化为二进制110，将其放在 消息长度区域 的最低3位，其余高位填充为0，共128位
即消息长度区域为 125个0 和 110

（4）生成的Hash长度是512位（64字节）

🕤 8.4.3 缓冲区初始化（步骤3）

• Hash函数的 中间结果 和 最终结果 都保存在一个512位的缓存区中
• 512位缓存区 用8个64位的寄存器abcdefgh共同表示
• 将寄存器abcdefgh 进行初始化，对前8个素数开平方，取小数部分的前64位

🕤 8.4.4 分组处理（步骤4）

• SHA-512算法的核心是具有 80轮运算 的迭代函数F
• 用函数F依次处理各分组，最终的输出即为消息的Hash

🕒 9. 消息认证码

🕘 9.1 消息认证函数

🕤 9.1.1 Hash

• Hash函数 将任意长的消息 映射为 固定长度的Hash值，以该值作为消息的认证符

🕤 9.1.2 加密

• 对整个消息加密，产生的密文作为消息的认证符

🕤 9.1.3 MAC

消息认证码MAC 是关于消息和密钥的函数，产生固定长度的值作为认证符

🕘 9.2 基于Hash函数的MAC——HMAC

• 在密钥$K$ 左边填充0，得到$b$位的$K^{+}$
• 构造$ipad=00110110$ 重复$b/8$次，使其和$K+$等长
• 将$K^{+}$ 与 $ipad$ 进行按位异或，产生分组$S_i$
• 将填充内容$P$、长度块$L$附加在消息之后，变为分组长度$b$ 的整数倍
• 将填充后的消息$M$ 附加在$S_i$之后
• 将$(S_i+M)$、初始值$IV$ 一起输入到选定的Hash函数中，产生Hash值 $H(Si+M)$
• 构造$opad=01011100$ 重复$b/8$次
• 将$K+$ 与 $opad$ 进行按位异或，产生分组$S_o$
• 将前面得到的Hash值 填充至$b$位，附加在 $S_o$ 后面
• 将$(S_o+H)$、初始值$IV$ 一起输入到选定的Hash函数中，产生的Hash值 即 消息认证码HMAC

练习题：
现在Hash函数是将所有分组进行按位异或，且分组长度b=8，填充内容P为10…00，消息长度区域共2位。
若密钥K=110，请给出消息001的HMAC。
解答：$K^{+}=00000110$
$ipad=00110110opad=01011100$
$S_i=K^{+}\oplus ipad=00110000$
$Y=00110011$（明文分组）
$H_1=H(S_i\mid \mid Y)=S_i\oplus Y=00000011$
$S_0=K^{+}\oplus opad=01011010$
$H_2=H(S_0\mid \mid H_1)=S_0\oplus H_1=01011001$

🕒 10. 数字签名

练习题：
已知Alice要为一个Hash值为2的消息制作数字签名，使用ElGamal数字签名方案，她选取q=11,a=2,私钥为4，K=3。
请给出S1、S2；
答：$m=2，q=11，a=2，X_A=4，K=3$
$S1=a^{K}modq=2^{3}mod11=8$
$q-1=11-1=10$
$\begin{array}{cccccc}q-1& K& q^{\prime }& d^{\prime }& x& y\\ 10& 3& 3& 1& 1& -3\\ 3& 1& 3& 1& 0& 1\\ 1& 0& & 1& 1& 0\end{array}$
$K^{-1}=-3mod10=7$
$S2=K^{-1}(m-X_{A}S1)mod(q-1)$
$=7\times （2-4\times 8）mod10=0$

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OK，以上就是密码学的期末复习啦~~ ，感谢友友们的阅读，祝大家逢考必过哦~~
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