CRPS和NLL

参考：CRPS：贝叶斯机器学习模型的评分函数_continuous ranked probability score连续概率评分计算步骤-优快云博客

连续分级概率评分（CRPS）和负对数似然损失（Negative Log-Likelihood, NLL）都是用于评估概率预测模型的指标，但它们在数学定义、应用场景和侧重点上存在显著差异。

• CRPS：

衡量预测分布的累积分布函数（CDF）与真实观测值的CDF（阶跃函数）之间的差异。公式为：

其中，F(x)是预测分布的CDF，y是真实观测值。

• NLL：

基于预测分布的概率密度函数（PDF）计算数据点的负对数似然：

其中，f(y)是预测分布在真实值y处的概率密度。

核心区别

​特性	​CRPS	​NLL
​比较对象	预测CDF与真实CDF的差异	预测PDF在真实值处的概率密度
​积分范围	全局积分（整个实数轴）	仅依赖真实值处的局部密度
​对分布的敏感度	关注分布整体形状（如均值、方差）	仅关注真实值附近的局部拟合
​异常值敏感度	较稳健（积分平滑化差异）	较敏感（直接依赖单点密度）
​适用场景	连续变量预测（如温度、降水量）	参数估计、模型训练（如贝叶斯模型）

指标	​最小值	​最大值	​敏感度	​极端情况
​CRPS	0（完美预测）	无理论上限	对整体分布形状敏感	预测分布越宽，CRPS 越大
​NLL	0（理论极限）	+∞（概率密度→0）	对真实值附近的概率密度敏感	预测方差太小或均值偏离时，NLL 可能爆炸

CRPS（连续分级概率评分）的取值范围是 [0, +∞)

CRPS与MAE(平均绝对误差）

点预测的极限：当预测分布退化为点估计（Dirac delta函数）时，CRPS退化为绝对误差（MAE），而NLL趋向无穷大（无法处理确定性预测）。

总结

CRPS和NLL虽然都用于概率模型评估，但本质不同：

CRPS：衡量预测的「整个概率分布」和「真实值」的差距。通过积分全局比较CDF，更适合评估连续分布的整体性能；

​NLL：衡量预测分布中「真实值出现的概率」有多高。通过局部密度计算似然，更适合参数优化和密度估计任务。