计算小于n的质数个数-Python

沐乡文

已于 2023-03-27 11:04:19 修改

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文章标签： python

于 2023-03-19 17:39:59 首次发布

原文链接：https://leetcode.cn/problems/count-primes/solution/pythonzui-you-jie-fa-mei-you-zhi-yi-liao-ba-by-bru/

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文章介绍了埃拉托斯特尼筛法，一种用于找到一定范围内所有质数的算法。该方法基于算术基本定理，只需剔除不超过根号n的质数倍数即可得到质数列表，因为超过根号n的合数都能分解为根号n以内质数的乘积。代码示例展示了如何实现这一算法。

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效率提升的关键在于埃拉托斯特尼筛法，简称埃式筛，也叫厄拉多塞筛法：

要得到自然数 n 以内的全部质数，必须把不大于根号n 的所有质数的倍数剔除，剩下的就是质数。

肯定有同学想问了，为什么埃式筛只需要剔除根号n以内的质数倍数？为什么不是每个数的倍数都进行剔除？我们知道偶数的倍数肯定是偶数，可以剔除，那为什么不是剔除根号n以内的所有奇数的倍数呢？

这个时候我们需要了解一个定理，叫算术基本定理：

任何一个合数(非质数)，都可以以唯一的形式被写成有限个质数的乘积，即分解质因数。

这个定理使用反证法很好证明，在理解了算数基本定理后，我们就知道所有超过根号 n 的合数都可以进行因式分解，其中最小的因子必然为根号 n 以内的一个质数。

这样一来我们只需剔除掉根号 n 以内的质数倍数，即排除了 n 以内的所有合数，剩下来的就都是质数啦。

注意：我们经常用0/1 表示数组中的元素，从而对数组求和之后计算出所要求的个数。

n = int(input())
arr = [1] * n  # 表示从0到n-1是否为质数，用0表示非质数，初始化为1
arr[0] = arr[1] = 0  # 0和1 既不是质数也不是合数
for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
    if arr[i]:
        for j in range(i * i, n, i): # 从i*i开始，因为小于i平方的已经被剔除掉了
            arr[j] = 0
print(sum(arr))