种群优化算法-萤火虫算法

算法说明

萤火虫算法（F-算法）由 X-Sh. Yang 于 2007 年在英国剑桥大学提出，并立即引起了优化研究人员的注意。 萤火虫算法是群体智能算法家族的一部分，最近在解决优化问题方面取得了令人印象深刻的成果。 特别是，萤火虫算法在求解连续和离散优化问题的能力。

萤火虫算法基于真实萤火虫的闪烁特性，有三条规则。 规则如下：

1. 所有萤火虫都会朝着更有吸引力和更明亮的对应物移动。
2. 萤火虫的吸引力程度与其亮度成正比，由于空气吸收光线的事实，随着与另一只萤火虫的距离增加，亮度会降低。 故此，在任何两只闪烁的萤火虫之间，不太亮的萤火虫会向较亮的萤火虫移动。 如果没有更亮或更具吸引力的对应物，则萤火虫将随机移动。
3. 萤火虫的亮度或光线强度由问题的目标函数的值决定。

最初，在算法开始时，所有萤火虫都随机分散在整个搜索空间当中。 然后，该算法根据两个阶段判定最佳分区：

1. 光线强度的变化 — 萤火虫在其当前位置的亮度反映在其适应性值中，朝着有吸引力的萤火虫移动。
2. 萤火虫通过观察邻近萤火虫的光线强度来改变其位置。

现在，我们可以更详尽地深入了解萤火虫优化的复杂性。 该算法本质上如图例 1 所示。

图例 1. 搜索空间中的萤火虫。 能见度随着距离的增加而降低

搜索原理背后的主要思路是随着萤火虫之间距离的增加，能见度呈非线性降低。 如果没有这种非线性关系，每只萤火虫都会确定性地向更明亮的光源移动。 然而，正如我们在图例 1 中看到的，萤火虫不会选择其最亮的近邻，因为由于环境对光线的吸收，它发出的光线很难被注意到。 取而代之，它选择了一个不太明亮的对应物（尽管是其环境中最亮的）。 此特征解释了算法划分为较小群落的良好能力。 由于远距离光吸收的非线性函数，这现象会很自然地发生。 在下面的图例 2 中，我们可以看到具有不同 gamma 介质吸收系数值的算法的可见性与距离的函数，这是算法参数之一。

图例 2. 介质透明度与距离f(x) 的函数，其中 gamma 透明度系数分别等于 1.0、0.2、0.05、0.01。

当 gamma 趋于无穷大时，环境变得不透明；当 gamma 为零时，环境是完全透明的；每只萤火虫在搜索空间中的任何距离都能看到对方。 如果 gamma = 0.0 会发生什么？ 所有的萤火虫都会飞到最明亮的相对位置，汇聚到某个非最佳点。 如此，算法不会收敛停留在某个局部极值。 如果环境完全不透明，会发生什么情况？ 萤火虫不会看到比自己更有吸引力的同类。 根据算法作者提出的概念，看不到比自己更好的同类，那么萤火虫就会随机移动。 该算法将退化为随机搜索。 在我们的算法分类评级表格中，随机搜索算法排在最后。  

我们来深入分析算法，并考虑描述萤火虫运动的方程。 能见度与距离的函数是计算所谓吸引力指数的基础：

attractiveness = fireflies [k].f / (1.0 + gamma * distance * distance);

其中:
attractiveness - 吸引力，不言自明
gamma - 环境不透明度系数
distance - 萤火虫之间的欧氏距离
fireflies [k].f - 第 k 只萤火虫的光线强度

该方程清楚地表明，吸引力函数直接取决于问题的维度和距离值的限制，因此该算法的作者建议为特定的优化问题选择透明度系数。 我认为，在事先不知算法将如何表现的情况下就这样做，既不方便又耗时；因此我认为有必要对 0 到 20 范围内的距离值进行规范化。 为达此目的，应用我们在其它算法中反复使用的 Scale() 函数。 在计算吸引力之前，“distance” 的转换如下所示：

distance = Scale (distance, 0.0, maxDist, 0.0, 20.0, false);

其中:

maxDist — 在一对萤火虫之间的最大欧几里得距离

在这种情况下，萤火虫的吸引力将不取决于问题的维度，也无需为特定的优化问题选择 gamma 系数。 吸引力函数判定每只萤火虫将做出什么样的配偶选择。 这个选择是有严格判定的。 萤火虫相互吸引力的影响决定了 beta 系数（算法的第二个参数）。 如果在每次迭代中萤火虫已经提前确定了相应的选择，如何确保算法的搜索能力？ 为此，引入了随机向量分量，和第三个算法参数（alpha）。 萤火虫的复杂行为关系如下所示：

fireflies [i].c [c] = Xj + beta * (Xi - Xj) + alpha * r * v [c];

其中:
fireflies [i].c [c] - 第 i 个萤火虫的第 c 个坐标
beta - 萤火虫吸引力影响系数
alpha - 当萤火虫移动时影响随机分量的系数，给出与移动目标的偏差
r - 范围 [-1.0;1.0] 内的随机数
v[c] - 向量分量，通过第 c 个坐标表征搜索范围极点之间的距离
Хj - 萤火虫对中的对应坐标，其将有运动
Xi - 计算运动的萤火虫的对应坐标

现在是时候讲述算法代码了。 它相对简单。 我们来研究细节。

萤火虫将用一个简单的结构来描述 S_Firefly，该结构具有两个组成部分，即 c[] - 坐标，f - 萤火虫的亮度（适应度函数）。 鉴于对于每只萤火虫，在相应的迭代中只有单一个体，它移动后会形成新的配对，因此在计算下一次移动时，我们不会冒覆盖坐标的风险。 为此目的，我将引入下面研究的特殊结构。

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struct S_Firefly
{
  double c  []; //coordinates
  double f;     //the value of the fitness function
};
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S_Attractiveness 结构的用意是存储成对的吸引力值和相应萤火虫的数量。 每只萤火虫不会朝向最吸引人的萤火虫的坐标移动，而是朝向其伙伴已经移动的坐标。 这与作者描述的算法版本存在一些差异，但这就是它能更好地工作的方式。

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struct S_Attractiveness
{
  double a; //attractiveness
  int    i; //inde