【编程测试题】阿里巴巴2019年提前批编程题

光明小学的小朋友们要举行一年一度的接力跑大赛了，但是小朋友们却遇到了一个难题：设计接力跑大赛的线路，你能帮助他们完成这项工作么？ 
光明小学可以抽象成一张有N个节点的图，每两点间都有一条道路相连。光明小学的每个班都有M个学生，所以你要为他们设计出一条恰好经过M条边的路径。 
光明小学的小朋友们希望全盘考虑所有的因素，所以你需要把任意两点间经过M条边的最短路径的距离输出出来以供参考。* 
你需要设计这样一个函数： 
res[][] Solve( N, M, map[][]); 
注意：map必然是N * N的二维数组，且map[i][j] == map[j][i]，map[i][i] == 0，-1e8 <= map[i][j] <= 1e8。（道路全部是无向边，无自环）2 <= N <= 100, 2 <= M <= 1e6。要求时间复杂度控制在O(N^3*log(M))。 
map数组表示了一张稠密图，其中任意两个不同节点i,j间都有一条边，边的长度为map[i][j]。N表示其中的节点数。 
你要返回的数组也必然是一个N * N的二维数组，表示从i出发走到j，经过M条边的最短路径 
你的路径中应考虑包含重复边的情况。 
这个题目要求在30分钟内解决，臣妾做不到的说。先来看看题目解析。 
题目解析：该题目要求在M次选择中，计算出i与j之间距离最短的值，是一种动态规划题型，因此我们用动态规划方式解答（C++）：

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#include <iostream>
using namespace std;
void Solve(int N,int M,int** map,int** res)
{
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        int **E=new int*[N];
        for(int j=0;j<N;j++)
            E[j]=new int[M];     //建立存放动态结果的矩阵  
        for(j=0;j<N;j++)
            if(i!=j)
                E[j][0]=map[i][j];
            else
                E[j][0]=100000000;
        for(int k=1;k<M;k++)
            for(j=0;j<N;j++)
                E[j][k]=100000000;
        for(k=1;k<M;k++)
        {
            for(j=0;j<N;j++)
            {
                for(int u=0;u<N;u++)
                {
                    if(u!=j)
                    {   
                        if(E[j][k]>E[u][k-1]+map[u][j])
                            E[j][k]=E[u][k-1]+map[u][j];
                    }
                }
            }
        }
        for(j=0;j<N;j++)
            res[i][j]=E[j][M-1];
    }
};
int main()
{
    int N,M;   //输入N个结点，M个路径
    //建立二维地图
    int i,j;
    cout<<"请输入结点数N，路径数M和地图Map：";
    cin>>N;
    cin>>M;
    int **map=new int*[N];
    int **res=new int*[N];
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        map[i]=new int[N];
        res[i]=new int[N];
    }
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            cin>>map[i][j];
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            res[i][j]=100000000;
    Solve(N,M,map,res);
    for(i=0;i<N;i++)
    {       
        for(int j=0;j<N;j++)
            cout<<res[i][j]<<"  ";
        cout<<endl;
    }

    for(i=0;i<N;i++)
        delete[] res[i];
    delete[] res;
    return 0;
}

以上是动态规划过程，我们从中可以看一下for嵌套的个数，可以发现，该算法的复杂度为O(N^3*M)，与要求的不符合，如何做到时间复杂度为O(N^3logM)呢？ 
我们观察到，我们求取步骤中，其实做了很多的无用功，比如我有4个小朋友，我要求得4段距离总和最小，如果用上面的程序，先求得2段距离最小，然后3段，然后4段，其实在后面基本上都是在原本地图矩阵上查找，地图矩阵i与j之间的距离是1段的距离，当我们计算出2段距离最小时，其实可以将该矩阵作为新的地图，即i与j之间是2段的距离，以此类推，我可以通过4段距离最小矩阵求得8段距离矩阵。此时我们需要用到递归，程序如下：

void Solve(int N,int M,int** map,int** res)
{
    int i,j,k;
    int a=M/2;
    int b=M-a*2;

    int **E=new int*[N];
    for(i=0;i<N;i++)
        E[i]=new int[N];
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            E[i][j]=100000000;

    if(a==1)
    {
        for(i=0;i<N;i++)
            for(j=0;j<N;j++)
                for(k=0;k<N;k++)
                    if(i!=k&&j!=k&&res[i][j]>map[i][k]+map[k][j])
                        res[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
        if(1==b)
        {
            for(i=0;i<N;i++)
                for(j=0;j<N;j++)
                    for(k=0;k<N;k++)
                        if(j!=k&&E[i][j]>res[i][k]+map[k][j])
                            E[i][j]=map[k][j]+res[i][k];
            for(i=0;i<N;i++)
                for(j=0;j<N;j++)
                    res[i][j]=E[i][j];
        }
        for(i=0;i<N;i++)
            delete[] E[i];
        delete[] E;
        return;
    }
    Solve(N,a,map,res);
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            for(k=0;k<N;k++)
                if(E[i][j]>res[i][k]+res[k][j])
                    E[i][j]=res[i][k]+res[k][j];
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
        {
            res[i][j]=E[i][j];
            E[i][j]=100000000;
        }

    if(b==1)
    {
        for(i=0;i<N;i++)
            for(j=0;j<N;j++)
                for(k=0;k<N;k++)
                    if(j!=k&&E[i][j]>res[i][k]+map[k][j])
                        E[i][j]=res[i][k]+map[k][j];
        for(i=0;i<N;i++)
            for(j=0;j<N;j++)
                res[i][j]=E[i][j];
    }
    for(i=0;i<N;i++)
        delete[] E[i];
    delete[] E;
}

int main()
{
    int N,M;   //输入N个结点，M个路径
    //建立二维地图
    int i,j;
    cout<<"请输入结点数N，路径数M和地图Map：";
    cin>>N;
    cin>>M;
    int **map=new int*[N];
    int **res=new int*[N];
    for(i=0;i<N;i++)
    {
        map[i]=new int[N];
        res[i]=new int[N];
    }
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            cin>>map[i][j];
    for(i=0;i<N;i++)
        for(j=0;j<N;j++)
            res[i][j]=100000000;
    Solve(N,M,map,res);
    for(i=0;i<N;i++)
    {       
        for(int j=0;j<N;j++)
            cout<<res[i][j]<<"  ";
        cout<<endl;
    }

    for(i=0;i<N;i++)
        delete[] res[i];
    delete[] res;
    return 0;
}

我们在每一层递归中，都传入了地图信息，是因为小朋友数M的个数不一定是2的n次方，若无法整除2，那么就需要地图map的帮助啦，此算法的复杂度可以保证在O(N^3*logM).

有什么问题的话，欢迎留言讨论。 
本文为原创文章，欢迎转载，转载请注明出处！

原文地址： https://blog.youkuaiyun.com/jiulexiaoyao/article/details/81228934

 

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//复杂度N^3 * logM

void Solve(int N, int M, vector<vector<int>> &map, vector<vector<int>> &R)
{
	//动态规划
	int i, j, k;
	int a = M / 2;
	int b = M - a * 2;

	vector<int> T(N, (int)1e6);
	vector<vector<int>> E(N, T);	//动态中间结果

	if (a == 1)
	{
		for (i = 0; i < N; i++)
			for (j = 0; j < N; j++)
				for (k = 0; k < N; k++)
					if (i != k&&j != k&&R[i][j] > map[i][k] + map[k][j])
						R[i][j] = map[i][k] + map[k][j];
		if (1 == b)
		{
			for (i = 0; i < N; i++)
				for (j = 0; j < N; j++)
					for (k = 0; k < N; k++)
						if (j != k&&E[i][j] > R[i][k] + map[k][j])
							E[i][j] = map[k][j] + R[i][k];

			for (i = 0; i < N; i++)
				for (j = 0; j < N; j++)
					R[i][j] = E[i][j];
		}
		return;
	}

	Solve(N, a, map, R);

	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = 0; j < N; j++)
			for (k = 0; k < N; k++)
				if (E[i][j] > R[i][k] + R[k][j])
					E[i][j] = R[i][k] + R[k][j];

	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = 0; j < N; j++)
		{
			R[i][j] = E[i][j];
			E[i][j] = (int)1e6;
		}

	if (b == 1)
	{
		for (i = 0; i < N; i++)
			for (j = 0; j < N; j++)
				for (k = 0; k < N; k++)
					if (j != k&&E[i][j] > R[i][k] + map[k][j])
						E[i][j] = R[i][k] + map[k][j];

		for (i = 0; i < N; i++)
			for (j = 0; j < N; j++)
				R[i][j] = E[i][j];
	}
}

int main()
{
	int N = 3;	//N个结点
	int M = 6;  //M个路径
	//cin >> N;
	//cin >> M;

	int i, j;	
	vector<int> T(N, 0);
	vector<vector<int>> map(N, T);	//建立二维地图
	vector<vector<int>> R(N, T);	//建立二维表

	//输入数据
	int Temp[9] = {0,2,3,2,0,1,3,1,0};

	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (j = 0; j < N; j++)
		{
			R[i][j] = (int)1e6;
			//cin >> map[i][j];
			map[i][j] = Temp[i * 3 + j];
		}
	}

	//求解
	Solve(N, M, map, R);

	//打印
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			cout << R[i][j] << "  ";
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

---

//复杂度N^3 * M

#include <iostream>
using namespace std;
void Solve(int N, int M, vector<vector<int>>& map, vector<vector<int>>& res)
{

	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		vector<int> T(M, (int)1e6);
		vector<vector<int>> E(N, T);	//动态中间结果

		for (int j = 0; j < N; j++)
			if (i != j)
				E[j][0] = map[i][j];
			else
				E[j][0] = 100000000;
		for (int k = 1; k < M; k++)
			for (int j = 0; j < N; j++)
				E[j][k] = 100000000;
		for (int k = 1; k < M; k++)
		{
			for (int j = 0; j < N; j++)
			{
				for (int u = 0; u < N; u++)
				{
					if (u != j)
					{
						if (E[j][k] > E[u][k - 1] + map[u][j])
							E[j][k] = E[u][k - 1] + map[u][j];
					}
				}
			}
		}
		for (int j = 0; j < N; j++)
			res[i][j] = E[j][M - 1];
	}
};
int main()
{
	int N = 3;
	int M = 2;   //输入N个结点，M个路径
				//建立二维地图

	int i, j;	
	vector<int> T(N, 0);
	vector<vector<int>> map(N, T);	//建立二维地图
	vector<vector<int>> R(N, T);	//建立二维表

	//输入数据
	int Temp[9] = {0,2,3,2,0,1,3,1,0};

	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (j = 0; j < N; j++)
		{
			R[i][j] = (int)1e6;
			//cin >> map[i][j];
			map[i][j] = Temp[i * 3 + j];
		}
	}


	Solve(N, M, map, R);
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			cout << R[i][j] << "  ";
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

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